[论文解读] Ulam-Hyers-Rassias stability for a class of fractional integro-differential equations

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Functional Equations Stability Results参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文研究了使用 $ψ$-Hilfer 分数阶导数和 Banach 不动点定理在有限区间与无限区间上的一类分数阶积分微分方程的 Ulam-Hyers-Rassias 稳定性。主要贡献在于建立了 Ulam-Hyers、Ulam-Hyers-Rassias 以及半-Ulam-Hyers-Rassias 稳定性的充分条件，将稳定性理论扩展至具有通用核函数的更广泛分数阶方程类。

ABSTRACT

By means of the recent $\psi$-Hilfer fractional derivative and of the Banach fixed-point theorem, we investigate stabilities of Ulam-Hyers, Ulam-Hyers-Rassias and semi-Ulam-Hyers-Rassias on closed intervals $[a,b]$ and $[a,\infty)$ for a particular class of fractional integro-differential equations.

研究动机与目标

• 通过 $ψ$-Hilfer 分数阶导数，将分数阶导数算子推广至一般函数 $ψ$，以扩展稳定性分析至具有通用核的分数阶积分微分方程。
• 在有限区间与无限区间上，建立 Ulam-Hyers、Ulam-Hyers-Rassias 以及半化-Ulam-Hyers-Rassias 稳定性。
• 在广义分数阶微积分框架下，利用不动点理论，提供稳定性存在的充分条件。
• 弥合分数阶微分方程在非奇异核与奇异核情形下稳定性理论的空白。

提出的方法

• 采用 $ψ$-Hilfer 分数阶导数，将分数阶导数算子推广至函数 $ψ$。
• 构建一类包含 $ψ$-Hilfer 导数与 Volterra 类型积分项的分数阶积分微分方程。
• 在适当的 Lipschitz 条件下，应用 Banach 不动点定理证明解的存在性与唯一性。
• 通过不动点框架比较扰动方程的解，推导出稳定性估计。
• 在 $ψ$-Hilfer 框架下，定义 Ulam-Hyers、Ulam-Hyers-Rassias 与半化-Ulam-Hyers-Rassias 稳定性。
• 在紧区间 $[a,b]$ 与无界区间 $[a,∞)$ 上分析稳定性，以覆盖更广泛的应用场景。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $[a,b]$ 与 $[a,∞)$ 上，分数阶积分微分方程的解在何种条件下具有 Ulam-Hyers 稳定性？
• RQ2 与经典分数阶导数相比，$ψ$-Hilfer 导数如何影响系统的稳定性行为？
• RQ3 在该广义分数阶模型背景下，Ulam-Hyers-Rassias 稳定性的充分条件是什么？
• RQ4 对于同一类方程，在无限定义域上能否建立半化-Ulam-Hyers-Rassias 稳定性？
• RQ5 稳定性结果如何依赖于 $ψ$-Hilfer 导数中函数 $ψ$ 的选取？

主要发现

• 通过 $ψ$-Hilfer 导数，在 $[a,b]$ 与 $[a,∞)$ 上均建立了分数阶积分微分方程的 Ulam-Hyers 稳定性。
• 在涉及控制函数的广义 Lipschitz 条件下，证明了 Ulam-Hyers-Rassias 稳定性。
• 在无界区间 $[a,∞)$ 上，获得了方程的半化-Ulam-Hyers-Rassias 稳定性，扩展了先前结果。
• 稳定性结果通过 Banach 不动点定理推导，确保了解的唯一性与鲁棒性。
• 该框架允许在一般核函数 $ψ$ 下进行稳定性分析，增强了对多样化分数阶模型的适用性。
• 分析结果表明，稳定性特性在有限与无限时间域之间均得以保持。