[論文レビュー] Ultraproducts, weak equivalence and sofic entropy

Alessandro Carderi|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、可算群が拡散確率空間上で確率測度を保つ作用を任意に与えたとき、それが標準的確率空間上の作用と弱く同値であることを確立し、弱同値類に超積を用いた収束を特徴づける距離位相を導入する。主な貢献は、プロファinite作用が有限作用の超積と弱く同値であることを示したことであり、これにより、自由群や特定の (T) 性質を有する群に対して、プロファinite作用のsoficエントロピーがsofic近似の選択に強く依存することを示す系が得られる。

ABSTRACT

In this work, we study pmp actions of countable groups on arbitrary diffuse probability spaces under the point of view of weak equivalence. We will show that any such an action is weakly equivalent to an action on a standard probability space. We also propose a metric on the space of actions modulo weak equivalence which is equivalent to the topology of Abért and Elek. We will give a simpler proof of the compactness of the space, showing that convergence is characterized by ultraproducts. Using this topology, we will show that a profinite action is weakly equivalent to an ultraproduct of finite actions. Finally, combining our results with another result of Abért and Elek, we will obtain a corollary about sofic entropy. We will show that for free groups and some property (T) groups, sofic entropy of profinite actions depends crucially on the chosen sofic approximation.

研究の動機と目的

• 拡散確率空間上の任意のpmp作用が、標準的確率空間上の作用と弱く同値であることを確立すること。
• 弱同値類に、AbértとElekの位相と同値なコンパクトで距離位相を定義すること。
• この位相における収束が超積によって特徴づけられることを示し、コンパクト性の新たな簡略化された証明を与えること。
• プロファinite作用が有限作用の超積と弱く同値であることを示し、群論的構造と力学的同値性を結びつけること。
• これらの結果をsoficエントロピーに応用し、エントロピー値が使用するsofic近似に大きく依存することを示すこと。

提案手法

• 群作用による部分集合のF統計の近似を用いた弱包含の定義を利用する。
• 統計の漸近的近似に基づく距離を弱同値類に導入し、AbértとElekの位相と同値であることを示す。
• 超積構成を用いて、作用の列の極限が超積に対応することを示し、コンパクト性を証明する。
• プロファinite作用が有限商群 $G/H_n$ の極限として生じることを活用し、このような極限が $G/H_n$ の超積と弱く同値であることを示す。
• AbértとElekのsoficエントロピーに関する結果を応用し、超積の特徴づけと組み合わせて、sofic近似の選択によるエントロピー依存性を分析する。
• 補題3.13を用いて、任意に小さいエントロピーを持つ生成分割を構成し、バーナウの定理を用いて対角積のエントロピーを計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のpmp作用が拡散確率空間上で弱く同値に標準的空間上の作用に写せるか？
• RQ2 標準的空間上の作用の弱同値類の位相が、超積収束によって特徴づけられる距離位相と同値か？
• RQ3 プロファinite作用は有限作用の超積と弱く同値か？
• RQ4 自由群や $\mathrm{PSL}_k(\mathbb{Z})$ に対して、プロファinite作用のsoficエントロピーはsofic近似の選択に依存するか？
• RQ5 あるsofic近似では正のエントロピーを持つ作用が、別の近似では $-\infty$ になるような作用を構成できるか？

主な発見

• 任意のpmp作用が拡散確率空間上で弱く同値に標準的確率空間上の作用に写せることを、定理2.15で示した。
• 弱同値類の空間 $\overline{\operatorname{Act}}(G)$ は、AbértとElekの位相と同値なコンパクトで距離位相を備えており、収束が超積によって特徴づけられる。
• プロファinite作用は有限作用の超積と弱く同値であることが、系Bで確立された。
• 自由群および $k \geq 2$ の $\mathrm{PSL}_k(\mathbb{Z})$ に対して、あるsofic近似ではsoficエントロピーが $r \geq 0$ であり、別の近似では $-\infty$ であるような作用が存在する。これは定理3.12で示された。
• $k \geq 3$ の $\mathrm{PSL}_k(\mathbb{Z})$ に対して、同値でない合同部分群の鎖を用いて、弱く非同値なプロファinite作用の連続体が存在することを示した。
• 定理3.12の証明は、任意に小さいエントロピーを持つ生成分割の構成（補題3.13）に依拠し、バーナウの定理を用いて対角積のエントロピーを計算する。