[論文レビュー] Understanding the second quantization of fermions in Clifford and in Grassmann space -- New way of second quantization of fermions, Part I

N. S. Mankoč Borštnik, H. B. F. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

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ひとこと要約

本稿は、グラスマン代数とクライフォード代数を用いたフェルミオンの新規2次量子化枠組みを提案し、内部基底ベクトルの固有の奇性が、ディラックの条件を仮定することなく、反交換関係を自然に導くことを示している。主な結果として、グラスマンフェルミオンは整数スピン状態を、クライフォードフェルミオンは半整数スピン状態を再現する。これは、ディラックの仮定を代数的に説明し、高次元モデルにおけるフェルミオン族とゲージ対称性の統一的記述を可能にする。

ABSTRACT

Both algebras, Clifford and Grassmann, offer "basis vectors" for describing the internal degrees of freedom of fermions. The oddness of the "basis vectors", transferred to the creation operators, which are tensor products of the finite number of "basis vectors" and the infinite number of momentum basis, and to their Hermitian conjugated partners annihilation operators, offers the second quantization of fermions without postulating the conditions proposed by Dirac, enabling the explanation of the Dirac's postulates. But while the Clifford fermions manifest the half integer spins -- in agreement with the observed properties of quarks and leptons and antiquarks and antileptons -- the "Grassmann fermions" manifest the integer spins. In Part I properties of the creation and annihilation operators of integer spins "Grassmann fermions" are presented and the proposed equations of motion solved. The anticommutation relations of second quantized integer spin fermions are shown when applying on the vacuum state as well as when applying on the Hilbert space of the infinite number of "Slater determinants" with all the possibilities of empty and occupied "fermion states". In Part II the conditions are discussed under which the Clifford algebras offer the appearance of the second quantized fermions, enabling as well the appearance of families. In both parts, Part I and Part II, the relation between the Dirac way and our way of the second quantization of fermions is presented.

研究の動機と目的

• ディラックが要請した反交換関係を仮定せずに、2次量子化フェルミオン統計を導出すること。
• グラスマン代数およびクライフォード代数における内部基底ベクトルの奇性が、フェルミオン的反交換関係をどのように自然に導くかを示すこと。
• クライフォード代数による半整数スピン（クォーク、レプトン）の出現と、グラスマン代数による整数スピンの出現を、統一的代数的枠組みで説明すること。
• この形式的枠組みがフェルミオン族の出現を可能にし、カルラツァ＝クライン的理論や標準模型を超える理論とどのように関連するかを示すこと。
• 標準的ディラック2次量子化と、内部空間の奇性に基づくこの新規代数的アプローチとの関係を明確にすること。

提案手法

• d次元内部空間における基底状態を構成するために、反交換座標 $\theta^a$ と微分作用素 $\partial/\partial\theta^a$ を用いたグラスマン代数を用いる。
• 生成・消滅演算子を、内部グラスマン／クライフォード基底ベクトルと運動量空間状態のテンソル積として定義し、代数から引き継がれる奇性を有する。
• 消滅演算子と生成演算子の積の和で定義される真空状態を用いて、反交換関係を代数的に検証する。
• ローレンツ代数の生成子 $S^{ab}$ を用いて既約表現を分類し、$SO(d)$ 不変量としての手の向き $\Gamma^{(d)}$ を定義する。
• 2つのクライフォード代数を $\gamma^a = \theta^a + \partial/\partial\theta^a$ および $\tilde{\gamma}^a = i(\theta^a - \partial/\partial\theta^a)$ で導入し、一方が半整数スピンフェルミオンを生成する。
• 式 (19) で与えられる制約を課すことにより、クライフォード代数の自由度を減少させ、$\tilde{S}^{ab}$ を通じて族量子数を可能にし、既約表現を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラックが行ったように反交換関係を仮定せずに、フェルミオンの2次量子化をどのように導出できるか？
• RQ2 グラスマン代数およびクライフォード代数における内部基底ベクトルの奇性が、フェルミオン統計を生成する役割を果たすのはなぜか？
• RQ3 なぜグラスマンフェルミオンは自然に整数スピン状態を記述するのに対し、クライフォードフェルミオンは半整数スピン状態を記述するのか？
• RQ4 提案された形式的枠組みが、2次量子化のためのディラックの仮定の起源をどのように説明するのか？
• RQ5 この代数的構造が、高次元モデルにおけるフェルミオン族およびゲージ対称性の存在を自然に説明できるか？

主な発見

• 2次量子化フェルミオンの反交換関係は、グラスマンおよびクライフォード代数における内部基底ベクトルの奇性から自然に導かれ、それらを仮定する必要がない。
• 奇数個の $\theta^a$ と $\partial/\partial\theta^a$ の積から構成されるグラスマンフェルミオンは整数スピン状態を生成し、真空またはスレーター行列式のヒルベルト空間上で作用する際に反交換関係を満たす。
• クライフォードフェルミオンは $\gamma^a = \theta^a + \partial/\partial\theta^a$ で定義され、観測されたクォークやレプトンに一致する半整数スピン状態を生成する。
• $\gamma^a$ を $\tilde{\gamma}^a$ から選ぶ制約を課すことにより、クライフォードおよびグラスマン代数の自由度が減少し、基本的な整数スピンフェルミオンの存在が不可能になる。
• ローレンツ代数 $S^{ab}$ の既約表現は、$\tilde{S}^{ab}$ によって決定される異なる族量子数を有し、そのうち $d/2$ 個の演算子が互いに可換である。
• 手の向き演算子 $\Gamma^{(d)} = (i)^{d/2} \prod_a \sqrt{\eta^{aa}} \gamma^a$ は $SO(d)$ 不変量であり、クライフォード代数枠組みにおけるヘリシティ状態を区別する。