[論文レビュー] Uniform Approximation by Complete Minimal Surfaces of Finite Total Curvature in $\mathbb{R}^3$

Francisco J. López|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ℝ³における極小表面に対して、Mergelyan型の近似定理を確立し、任意のコンパクトな極小表面が、有限全曲率をもつ完全な極小表面により一様近似可能であることを証明している。Weierstrass表現と、増大するコンパクト領域における埋め込みの再帰的接合を用いて、フラックスと自己同型構造を保った近似列を構成し、既知の結果を弱有限全曲率表面へと拡張し、任意の開リーマン面上で所望のフラックスをもつ完全な極小埋め込みの存在を示している。

ABSTRACT

An approximation theorem for minimal surfaces by complete minimal surfaces of finite total curvature in $\mathbb{R}^3$ is obtained. This Mergelyan type result can be extended to the family of complete minimal surfaces of weak finite total curvature, that is to say, having finite total curvature on proper regions of finite conformal type. We deal only with the orientable case.

研究の動機と目的

• ℝ³における極小表面の一般化された近似理論を、複素解析におけるRungeの定理およびMergelyanの定理に類似した形で構築すること。
• ℝ³における任意のコンパクトな極小表面が、有限全曲率をもつ完全な極小表面により一様近似可能であることを証明すること。
• 近似結果を、弱有限全曲率極小表面、すなわち有限型のコンフォーマル型を持つ領域で有限全曲率をもつ表面のクラスへと拡張すること。
• 近似された表面のコンフォーマル構造とフラックス写像を制御すること。
• 任意の開リーマン面上に、所望のフラックスをもつ完全な極小埋め込みが存在することを確立すること。

提案手法

• 開リーマン面上の正則データ (g, ω) を用いて、Weierstrass表現により極小埋め込みをパrametrizeすること。
• 与えられたコンパクト表面 S から出発し、増大するコンパクト領域 N_j ⊂ N_c 上での一様なコンフォーマル極小埋め込みの列を構成すること。
• Lemma 4.4 を用いた再帰的接合を適用し、極限埋め込みの一様収束性と内在的完全性を保証すること。
• 全過程を通じて、群準同型 q: H₁(N, ℤ) → ℝ³ を保存することによりフラックス不変性を維持すること。
• 正則データの一様収束に対してHurwitzの定理を用いて、極限に分岐点が生じないことを保証すること。
• 極限計量下での発散曲線がすべて無限の内在的長さを持つことを示すことにより、完全性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ³における任意のコンパクトな極小表面は、有限全曲率をもつ完全な極小表面により一様近似可能か？
• RQ2 近似結果は、弱有限全曲率表面、すなわち有限型のコンフォーマル型を持つ領域で有限全曲率をもつ表面へと拡張可能か？
• RQ3 近似プロセス中に元の表面のフラックス写像を保存することは可能か？
• RQ4 任意の開リーマン面上に、所望のフラックスをもつ完全な極小埋め込みを構成することは可能か？
• RQ5 ゼロフラックスをもつ任意の完全な極小埋め込みに対して、関連する極小埋め込みが存在するか？

主な発見

• ℝ³における任意のコンパクトな極小表面は、有限全曲率をもつ完全な極小表面により一様近似可能である。
• 近似はフラックス写像 q: H₁(N, ℤ) → ℝ³ を保存しており、位相的・幾何学的整合性を保証している。
• 再帰的接合によって構成された極限埋め込みは、コンフォーマル的であり、完全で、弱有限全曲率をもつ。
• 任意の開リーマン面 N に対して、完全な極小埋め込みの空間 M(N) は空でない。
• 任意の X ∈ M(N) がゼロフラックスをもつとき、すべての関連埋め込み {X_θ} が正しく定義されており、Pirolaの結果を一般化している。
• 構成法により、初期表面のコンパクト部分集合上で近似列が一様 C¹ 収束することが保証されている。