[論文レビュー] Uniformity for integral points on surfaces, positivity of log cotangent sheaves and hyperbolicity

Kenneth Ascher, Kristin DeVleming+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、正の対数接続バンドルを持つ準射影的多様体の部分多様体がすべて対数一般型であることを確立し、正で全域生成である対数接続層を持つ滑らかな準射影的多様体が有限個の整数点を持つことを証明している。これは森脇の結果を拡張するものである。さらに、Lang–Vojta予想のもとで、正の対数接続バンドルを持つ対数一般型の曲線および曲面における安定整数点の数は一様に有界であることが示されている。

ABSTRACT

We show that all subvarieties of a quasi-projective variety with positive log cotangent bundle are of log general type. In addition, we show that smooth quasi-projective varieties with positive and globally generated log cotangent have finitely many integral points, generalizing a theorem of Moriwaki. Finally, we prove that the Lang-Vojta conjecture implies the number of stably integral points on curves of log general type, and surfaces of log general type with positive log cotangent sheaf are uniformly bounded.

研究の動機と目的

• 正の対数接続バンドルを持つ準射影的多様体のすべての部分多様体が対数一般型であることを確立すること。
• 正で全域生成である対数接続層を持つ滑らかな準射影的多様体が有限個の整数点を持つことを証明することで、森脇の整数点に関する有限性結果を一般化すること。
• Lang–Vojta予想のもとで、対数一般型で正の対数接続バンドルを持つ曲線および曲面における安定整数点の数の一様有界性を調査すること。

提案手法

• 部分多様体の双有理型を制約するために、対数接続層の正性を中心的な幾何的条件として用いる。
• 特に対数正則および対数一般型部分多様体に注目し、対数幾何および代数幾何における正性の技法を適用する。
• 対数 canonical モデルの構造を活用して、準射影的多様体上の整数点の理論を応用する。
• 安定整数点の数の一様有界性を導くために、Lang–Vojta予想を仮定条件として用いる。
• 整数点の幾何を制御するために、対数接続バンドルの全域生成性および正性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の対数接続バンドルを持つ準射影的多様体のすべての部分多様体は対数一般型か？
• RQ2 正で全域生成である対数接続層を持つ滑らかな準射影的多様体は有限個の整数点を持つか？
• RQ3 Lang–Vojta予想のもとで、正の対数接続バンドルを持つ対数一般型の曲線および曲面における安定整数点の数は一様に有界か？
• RQ4 高次元の対数一般型多様体において、整数点の有限性および一様有界性を保証する幾何的条件は何か？
• RQ5 対数接続バンドルの正性は、部分多様体の双有理幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 正の対数接続バンドルを持つ準射影的多様体のすべての部分多様体は対数一般型である。
• 正で全域生成である対数接続層を持つ滑らかな準射影的多様体は、森脇の定理を拡張して有限個の整数点を持つ。
• Lang–Vojta予想のもとで、正の対数接続バンドルを持つ対数一般型の曲線および曲面における安定整数点の数は一様に有界である。
• 対数接続バンドルの正性は、指定された幾何的状況下で整数点の有限性および一様有界性を保証する十分条件である。
• 本研究の結果は、整数点の文脈における対数接続バンドルの正性と算術的双曲幾何との強い関係を確立している。