[論文レビュー] Unpredictable Strings

Marat Akhmet, Astrit Tola|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2020

Evolutionary Algorithms and Applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、予測可能に拡張できない有限記号列である不確実な文字列の概念を導入し、有限アルファベット上での決定的不確実な系列を定義する。離散的確率過程において、そのような系列が非可算に多く存在することを示す「長い文字列の第一法則」を証明し、ベルヌーイ定理に類似した第二法則を仮説として提示する。この仮説は、MATLABアルゴリズムを用いて不確実な文字列長を段階的に増加させたベルヌーイ過程の数値シミュレーションによって裏付けられる。

ABSTRACT

A novel notion of unpredictable strings is revealed and utilized to define deterministic unpredictable sequences on a finite number of symbols. We prove the first law of large strings for random processes in discrete time, which confirms that there exists the uncountable set of unpredictable realizations. The hypothesis on the second law of large strings is formulated, which is relative to the Bernoulli theorem. Theoretical and numerical backgrounds for the laws are provided.

研究の動機と目的

• 不確実な文字列および系列の概念を形式化し、確率的ダイナミクスの決定的アナログを提供すること。
• 有限状態空間を有する離散時間確率過程において、不確実実現の非可算集合が存在することを確立すること。
• ベルヌーイ過程の数値シミュレーションを通じて、このような系列の統計的挙動を調査すること。
• 実証的証拠に基づいて、古典的ベルヌーイ定理に類似した第二法則の「長い文字列」を提唱すること。
• 不確実な文字列長を段階的に増加させるように構成可能なMATLABアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 長さ $k$ の不確実な文字列を、$a_k \neq a_{s+k}$ を満たす有限列 $(a_s, a_{s+1}, ..., a_{s+k})$ として定義し、ブロックの外側で繰り返しを避ける。
• 不確実な系列の2通りの同等な定義を導入：1つは任意に長い不確実な文字列を含む（定義2.2）、もう1つは帰還時間と発散性に基づく（定義2.3）。
• コンパクトな距離空間 $\Sigma_r$ に距離 $d(\xi,\zeta) = \sum_{k=0}^\infty \frac{|\xi_k - \zeta_k|}{2^k}$ を備えた記号的力学系を用い、位相的性質を証明する。
• $\Sigma_r$ 上でのベルヌーイシフト $\sigma$ を用いて不変構造を分析し、不確実点の存在を証明する。
• 固定されたベクトル $v_1, ..., v_r$ を用い、$r=2$ のスカラーの場合に限って、不確実な文字列長を段階的に増加させる再帰的アルゴリズム（アルゴリズム1）を採用する。
• 有限実現の数値的評価において、$m = 9 \times 10^5$ を用い、$K(m)$（最大の不確実な文字列長）、$\xi_{K(m)}$（そのような文字列の最後のインデックス）、$N(m)/m$（重複する不確実な文字列の割合）を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的系列は、不確実性や統計的正規性の観点で確率的過程に類似した性質を示すように構築可能か？
• RQ2 有限状態空間を有する離散時間過程において、不確実な系列としての実現の集合の濃度はいかほどか？
• RQ3 不確実な文字列を含む系列について、大数の法則に類似した統計的法則が成立するか？
• RQ4 不確実な文字列長を段階的に増加させる系列をアルゴリズム的に生成する方法は何か？
• RQ5 有限実現における不確実な文字列の出現頻度は、第二法則の「長い文字列」が予測するように、漸近的に期待確率に等しくなるか？

主な発見

• 「長い文字列の第一法則」を厳密に証明した：有限状態空間を有する離散時間確率過程において、非可算に多くの不確実実現が存在する。
• 理論的分析により、不確実な系列の集合は不確実軌道の閉包であり、シフトダイナミクスの意味で稠密であることが確認された。
• パラメータ $p = 0.6$ および $m = 9 \times 10^5$ の数値シミュレーションにおいて、$N(m)/m \approx 0.6$ が大きな $m$ に対して成立し、第二法則の「長い文字列」の仮説を支持する。
• 最大の不確実な文字列長 $K(n)$ は $n$ と共に増加し、$K(900000) = 28$ に達するなど、時間の経過とともに不確実性が増大していることが示された。
• 最大の不確実な文字列の最後の出現インデックス $\xi_{K(n)}$ も $n$ と共に増加し、例として $\xi_{K(900000)} = 874766$ が得られた。これは非自明な分布を示している。
• アルゴリズムは、不確実な文字列長を段階的に増加させる系列を効果的に生成でき、29文字以上の構成例が得られた。