[논문 리뷰] Unramifiedness of Galois representations attached to weight one Hilbert modular eigenforms mod p

Mladen Dimitrov, Gabor Wiese|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 0으로의 올림이 없는 경우에도, $\overline{\mathbb{F}}_p$ 상의 평행 무게 1 및 $p$ 외소인 수준을 가진 힐베르트 모듈러 형식에 부착된 갈로아 표현이 모든 소 $\mathfrak{p}$ 에서 비분기임을 증명한다. 증명은 $p$-진 및 모듈로 $p$ 헤이크 연산자, $q$-전개 기법, 그리고 모듈러에서 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 의 비반순소 작용에 기반한 모순 추론을 사용하며, 나카야마의 보조정리와 표현론적 내림내림 기법을 통해 비분기성을 확립한다.

ABSTRACT

The main result of this article states that the Galois representation attached to a Hilbert modular eigenform defined over F_p^bar of parallel weight 1 and level prime to p is unramified above p. This includes the important case of eigenforms that do not lift to Hilbert modular forms in characteristic 0 of parallel weight 1. The proof is based on the observation that parallel weight 1 forms in characteristic p embed into the ordinary part of parallel weight p forms in two different ways per prime dividing p, namely via `partial' Frobenius operators.

연구 동기 및 목표

• 특성 0로의 올림이 없는 경우에도, $\overline{\mathbb{F}}_p$ 상의 평행 무게 1 힐베르트 모듈러 형식에 부착된 갈로아 표현이 $p$ 를 나누는 모든 소 $\mathfrak{p}$ 에서 비분기임을 확립하는 것.
• 전체 실수 체 위에서의 세르 유형 모듈라리티 추측을, 특히 무게 1 형식에 대해 전체 분기 정보를 포함하도록 확장하는 것.
• 특히 $q$-전개 및 일반/일반 유사 지역의 맥락에서, 모듈로 $p$ 힐베르트 모듈러 형식의 공간에서 헤이크 연산자 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 의 작용을 구성하고 분석하는 것.
• 역 갈로아 문제의 핵심 장애 요소를 제거하기 위해, $p$ 에서 비분기인 $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$-확장의 예를 제공함으로써, 일반적으로 명시적으로 구성하기 어려운 경우를 해결하는 것.

제안 방법

• 평행 무게 $k \geq 1$ 와 $p$ 외소 수준을 가진 모듈로 $p$ 힐베르트 모듈러 형식에 작용하는 헤이크 연산자 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 를, $q$-전개 자료와 비일반 지역으로부터의 기하학적 정보를 사용하여 구성한다.
• $q$-전개 자료가 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 를 유일하게 결정하므로, 아델릭 $q$-전개에서의 작용을 명시적으로 계산할 수 있다.
• 모순 추론을 적용하기 위해, $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 가 $\mathbb{T}'_k \otimes \overline{\mathbb{F}}_p$ 에 속해 있다고 가정한다. 이는 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 가 특정 모듈러 $W_\mathfrak{p}$ 에서 반순소로 작용함을 시사하며, 이는 명제 4.1(c)와 모순된다.
• 갈로아 군 $G_F$-모듈러 $\mathcal{M}$ 에 나카야마의 보조정리를 적용하여, 비분기 몫 $\mathcal{M}^- / \mathfrak{m}'\mathcal{M}^-$ 의 차원이 2임을 보이고, 이는 갈로아 표현 $\rho_f$ 가 $\mathfrak{p}$ 에서 비분기임을 의미한다.
• 갈로아 표현을 $\mathfrak{m}'$ 모듈로 줄여, $\mathcal{M}/\mathfrak{m}'\mathcal{M}$ 에서 $\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}$ 의 작용 구조를 사용하여, 이 작용이 같은 고유값을 가진 행렬을 통해 나타남을 보여 비분기성을 확인한다.
• 에메르톤, 레두지, 샤오 [17] 의 기하학적 결과를 활용하여, 이 구성의 목적을 위해 비일반 지역을 무시할 수 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0로의 올림이 없는 경우에도, $\overline{\mathbb{F}}_p$ 상의 평행 무게 1 힐베르트 모듈러 형식에 부착된 갈로아 표현이 $p$ 를 나누는 모든 소 $\mathfrak{p}$ 에서 비분기되는가?
• RQ2 특히 무게 $k=p$ 경우에서, 모듈로 $p$ 힐베르트 모듈러 형식에서 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 의 작용이 $q$-전개를 통해 명시적으로 기술될 수 있는가?
• RQ3 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 가 관련 모듈러 $W_\mathfrak{p}$ 에서 반순소인가? 이는 관련 갈로아 표현의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 갈로아 표현 $\rho_f$ 가 $\mathfrak{p}$ 에서 비분기임을, $\mathbb{T}'_k$ 에서의 비자유성에 기반한 비분기 몫 $\mathcal{M}^-$ 의 비자유성으로 유추할 수 있는가?
• RQ5 $\rho_f$ 가 $\mathfrak{p}$ 에서 일반적이지 않음(즉, $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 의 비반순소 작용으로 증명됨)에도 불구하고 비분기성이 유지되는가? 이는 갈로아 표현의 구조와 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?

주요 결과

• 특성 0로의 올림이 없는 경우에도, $\overline{\mathbb{F}}_p$ 상의 평행 무게 1 및 $p$ 외소 수준을 가진 힐베르트 모듈러 형식에 부착된 갈로아 표현 $\rho_f$ 는 모든 소 $\mathfrak{p}$ 에서 비분기이다.
• $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 가 힐베르트 모듈러 형식의 $q$-전개에 작용하는 방식은 $a((0), T_\mathfrak{p}^{(k)}f) = a((0),f)[\mathfrak{p}] + \operatorname{N}_{F/\mathbb{Q}}(\mathfrak{p})^{k-1} a((0),\langle\mathfrak{p}\rangle f)[\mathfrak{p}^{-1}]$ 와 같이 명시적으로 주어지며, 고차항의 경우에도 유사하게 적용된다.
• 모순은 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 가 $W_\mathfrak{p}$ 에서 비반순소로 작용하는 데서 기인하며, $\mathbb{T}'$ 는 특성으로 작용하므로, $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 는 $\mathbb{T}'_k \otimes \overline{\mathbb{F}}_p$ 에 속할 수 없으며, 이는 논증의 핵심이다.
• 비분기 몫 $\mathcal{M}^- / \mathfrak{m}'\mathcal{M}^-$ 는 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 상에서 차원 2를 가지며, 이는 $\mathcal{M}/\mathfrak{m}'\mathcal{M} \simeq \mathcal{M}^- / \mathfrak{m}'\mathcal{M}^-$ 를 의미하고, 따라서 $\rho_f$ 는 $\mathfrak{p}$ 에서 비분기이다.
• $\mathcal{M}/\mathfrak{m}'\mathcal{M}$ 에서 $\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}$ 의 작용은 행렬 $\begin{pmatrix} \alpha_\mathfrak{p} & * \\ 0 & \alpha_\mathfrak{p} \end{pmatrix}$ 로 표현되며, 이는 추적값이 $2\alpha_\mathfrak{p}$ 임을 확인하여 비분기성과 일치한다.
• 표현 $\rho_f$ 는 $\mathfrak{p}$ 에서 일반적이지 않다. 비분기 몫 $\mathcal{M}^-$ 이 $\mathbb{T}'_k$ 에서 자유 모듈러가 아니므로, $U$-연산자가 이를 일반화하기 위해 필요하다.