[論文レビュー] Vertex operator algebras associated to the Virasoro algebra over an arbitrary field

Chongying Dong, Li Ren|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の体 $\mathbb{F}$ に対して $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 2$ を満たすバーリンスコ・代数に関連する頂点 operator 代数を構成し、分類する。フェルミオン的実現と特異ベクトル解析を用いて、$\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ のとき $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ は有理的であり、3つの既約モジュール（$h = 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{16}$）を持つが、$\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ のときは4次での退化した特異ベクトルのため、2つに減少する。

ABSTRACT

The vertex operator algebras and modules associated to the highest weight modules for the Virasoro algebra over an arbitrary field F whose characteristic is not equal to 2 are studied. The irreducible modules of vertex operator algebra L(1/2,0)_F are classified. The rationality of L(1/2,0)_F is established if the characteristic of F is different from 7.

研究の動機と目的

• 任意の体 $\mathbb{F}$ に対して $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 2$ を満たす頂点 operator 代数とそのモジュールを研究し、複素解析的結果を一般体に拡張すること。
• このような体上の頂点 operator 代数 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ の既約モジュールを分類すること。
• $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ のとき $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ が有理的であることを確立し、$\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ の特異ケースを分析すること。
• $R$-形式 $L(\frac{1}{2},h)$ の基底変換 $\mathbb{F}$ における挙動を調査し、特に $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ のとき $\mathbb{F} \otimes_R L(\frac{1}{2},h)_R \cong L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ が成り立たない理由を明らかにすること。

提案手法

• 頂点 operator 超代数 $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z}+\frac{1}{2})$ 及びその $\tau$-twisted モジュール $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z})$ を用いた $L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ のフェルミオン的実現。ここで $H_\mathbb{F} = \mathbb{F}a$ であり、$(a,a)=1$ である。
• 文献[FF]の公式を用いて、Verma モジュール $V(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ における特異ベクトルを明示的に構成し、既約モジュールの分類を可能にする。
• $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z})$ 及び $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z}+\frac{1}{2})$ 上に非退化な対称双一次形式を用いて、部分モジュールの完全可約性および既約性を証明する。
• $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ のとき、$V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z}+\frac{1}{2})$ の偶数部が $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ と同型であり、奇数部が $L(\frac{1}{2},\frac{1}{2})_\mathbb{F}$ と同型であることを証明する。また、$V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z})$ の両方の部が $L(\frac{1}{2},\frac{1}{16})_\mathbb{F}$ と同型であることを示す。
• 直交補空間および最大の階付き部分モジュールを用いた帰納的議論により、$Vir_\mathbb{F}$-モジュールの完全可約性を示し、$L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ の既約性を確立する。
• $V(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ における特異ベクトル $a(-\frac{1}{2})a(-\frac{7}{2}) - 3a(-\frac{3}{2})a(-\frac{5}{2})$ の分析。これは $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ のときのみ最高重量ベクトルであり、分類に中心的な役割を果たす。また、$\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ のときの4次特異ベクトルについても検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の体 $\mathbb{F}$ に対して $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 2$ を満たすとき、頂点 operator 代数 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ の構造はどのようになるか？
• RQ2 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ が同値でない既約モジュールをいくつ持つか、これは体の特徴にどのように依存するか？
• RQ3 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 2$ を満たすすべての $\mathbb{F}$ に対して $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ は有理的か？また、$\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ がこの文脈で果たす役割は何か？
• RQ4 $R = \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ に対する $R$-形式 $L(\frac{1}{2},h)_R$ が $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ のとき $L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ に正しく基底変換されないのはなぜか？
• RQ5 $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ のとき $V(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ における4次特異ベクトルの重要性は何か？また、これはモジュール構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ のとき、頂点 operator 代数 $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ は有理的であり、$h = 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{16}$ の3つの同値でない既約モジュール $L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ をちょうど持つ。
• $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ のとき、$L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ は $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ と $L(\frac{1}{2},\frac{1}{2})_\mathbb{F}$ の2つの同値でない既約モジュールしか持たない。これは $\frac{1}{2} = \frac{1}{16}$ となることと、4次での特異ベクトルによる崩壊に起因する。
• $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ のとき、頂点 operator 超代数 $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z}+\frac{1}{2})$ の偶数部は $L(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ と同型であり、奇数部は $L(\frac{1}{2},\frac{1}{2})_\mathbb{F}$ と同型である。
• $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ のとき、$\tau$-twisted モジュール $V(H_\mathbb{F}, \mathbb{Z})$ の偶数部および奇数部の両方が $L(\frac{1}{2},\frac{1}{16})_\mathbb{F}$ と同型である。これは第3のモジュールの確認を示す。
• 特異ベクトル $a(-\frac{1}{2})a(-\frac{7}{2}) - 3a(-\frac{3}{2})a(-\frac{5}{2})$ が $V(\frac{1}{2},0)_\mathbb{F}$ において最高重量ベクトルであるのは $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} \neq 7$ のときに限る。これは分類に中心的な役割を果たす。
• $\mathrm{ch}\,\mathbb{F} = 7$ のとき、$R = \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ に対する $R$-形式 $L(\frac{1}{2},h)_R$ は $L(\frac{1}{2},h)_\mathbb{F}$ に基底変換されない。これは有理的 VO 代数における期待される降下性の失敗を示している。