[論文レビュー] Vertex Operator Algebras with Two Simple Modules - the Mathur-Mukhi-Sen Theorem Revisited

Geoffrey Mason, Kiyokazu Nagatomo+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、強正則な頂点演算子代数（VOA）で、ちょうど2つの非可約モジュールを持つものの数学的分類を完成させた。Mathur-Mukhi-Senの定理を厳密に再検討することで、VOA、モジュラー線形微分方程式（MLDE）、Gauss超幾何級数の間の関係を用いて、このようなVOAが4つのレベル1のアフィンKac-Moody代数のいずれか、または中心電荷 $-22/5$ のYang-Lee Virasoro最小模型であることを証明した。これにより、1980年代の初期の研究における長年の曖昧さが解消された。

ABSTRACT

Let $V$ be a strongly regular vertex operator algebra and let $\frak{ch}_V$ be the space spanned by the characters of the irreducible $V$-modules.\ It is known that $\frak{ch}_V$ is the space of solutions of a so-called \emph{modular linear differential equation (MLDE)}.\ In this paper we obtain a near-classification of those $V$ for which the corresponding MLDE is irreducible and monic of order $2$.\ As a consequence we derive the complete classification when $V$ has exactly two simple modules.\ It turns out that $V$ is either one of four affine Kac-Moody algebras of level $1$, or the Yang-Lee Virasoro model of central charge ${-}22/5$.\ Our proof establishes new connections between the characters of $V$ and Gauss hypergeometric series, and puts the finishing touches to work of Mathur, Mukhi and Sen who first considered this problem forty years ago.

研究の動機と目的

• Mathur, Mukhi, および Sen が1980年代に提唱した、2つの一次元的場を持つ2次元の共形場理論の不完全な分類を解消すること。
• 非可約モジュールをちょうど2つ持つ強正則なVOAの数学的に厳密な分類を提供すること。
• 現代のMLDE理論と超幾何関数の理論を活用して、元々のMathur-Mukhi-Senの手法に残存する曖昧さを解消すること。
• キャラクターが既約でモニックな2階MLDEを満たすVOAの完全な特徴付けを確立すること。
• このようなVOAは、4つのレベル1のアフィンKac-Moody代数と、中心電荷 $c = -22/5$ のYang-Lee Virasoro最小模型に限られることを証明すること。

提案手法

• 強正則なVOA $V$ のキャラクター空間 $\mathfrak{ch}_V$ を、モジュラー線形微分方程式（MLDE）の解として分析すること。
• MLDEとGauss超幾何級数の関係を用いて、キャラクター関数のモジュラー性を特徴付けること。
• S行列のモジュラー不変性と対称性条件 $S_{ij} = S_{ji}$ を用いて、候補となるVOAを除外すること。
• モジュラー・ワロンスキー式とZhuの定理を用いて、$\mathfrak{ch}_V$ が次元 $n = \dim \mathfrak{ch}_V$ のMLDEの解空間であることを示すこと。
• Lie代数の分類と中心電荷の制約を用いて、$c = 2/5, 38/5, -5, -6, -8, -10$ のような不適切なケースを除外すること。
• $c = 1, 26/5, -22/5$ の場合にのみ一貫性があり、それに対応する $V_1$-代数または自明な $V_1$ を持つVOAに限られることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ちょうど2つの非可約モジュールを持つ強正則なVOAは何か、その完全な分類は何か？
• RQ2 元々のMathur-Mukhi-Senによる2場の共形場理論の分類は、完全な数学的厳密性をもって完成できるか？
• RQ3 Gauss超幾何級数は、モニックで2階のMLDEを満たすVOAのキャラクターとどのように関係するか？
• RQ4 モジュラー不変性とS行列の対称性は、2つのモジュールを持つ候補となるVOAにどのような制約を課えるか？
• RQ5 なぜ $c = -6, -8, -10$ のような中心電荷は、MLDEを満たすにもかかわらず、このようなVOAを支持しないのか？

主な発見

• ちょうど2つの非可約モジュールを持つ唯一の強正則なVOAは、タイプ $A_1, A_2, G_2, F_4$ の4つのレベル1のアフィンKac-Moody代数である。
• 非アフィンな例は、中心電荷 $c = -22/5$ のYang-Lee Virasoro最小模型であり、$V_1$ は自明で、$\tilde{c} = 2/5$ である。
• これらのVOAのキャラクターは、Gauss超幾何級数および $\Delta_3(\tau)$ や $I_3(\tau)$ のようなモジュラー形式を用いて完全に記述できる。
• $c = -6, -8, -10$ のケースは、S行列が非対称であるため、分配関数のモジュラー不変性に反するため除外される。
• Lie代数の次元とランクの制約を用いて、$c = 2/5, 38/5, -5$ の場合も矛盾が生じることを示し、分類が完成する。
• 証明により、2つのモジュールを持つVOAと、既約でモニックな2階MLDEの解との完全で厳密な対応関係が確立された。