[論文レビュー] Vietoris-Rips Complexes of Regular Polygons

Henry Adams, Samir Chowdhury+2 more|ArXiv.org|Jul 28, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、循環的グラフ理論と巻き込み分数を用いて、正多角形 $P_n$ のバーティコルス–ライプス複体のホモトピー型および恒続的ホモロジーを特徴づける。$n = (k+1)!!$ のとき、これらの複体はあらゆる次元の球面を示し、$2l$-次元球面の数は内接する正三角形星形と関連している。また、$P_n$ の稠密な部分集合は、高次元においてもホモトピー型やホモロジーを保存しない可能性があることを示している。

ABSTRACT

Persistent homology has emerged as a novel tool for data analysis in the past two decades. However, there are still very few shapes or even manifolds whose persistent homology barcodes (say of the Vietoris-Rips complex) are fully known. Towards this direction, let $P_n$ be the boundary of a regular polygon in the plane with $n$ sides; we describe the homotopy types of Vietoris-Rips complexes of $P_n$. Indeed, when $n=(k+1)!!$ is an odd double factorial, we provide a complete characterization of the homotopy types and persistent homology of the Vietoris-Rips complexes of $P_n$ up to a scale parameter $r_n$, where $r_n$ approaches the diameter of $P_n$ as $n o\infty$. Surprisingly, these homotopy types include spheres of all dimensions. Roughly speaking, the number of higher-dimensional spheres appearing is linked to the number of equilateral (but not necessarily equiangular) stars that can be inscribed into $P_n$. As our main tool we use the recently-developed theory of cyclic graphs and winding fractions. Furthermore, we show that the Vietoris-Rips complex of an arbitrarily dense subset of $P_n$ need not be homotopy equivalent to the Vietoris-Rips complex of $P_n$ itself, and indeed, these two complexes can have different homology groups in arbitrarily high dimensions. As an application of our results, we provide a lower bound on the Gromov-Hausdorff distance between $P_n$ and the circle.

研究の動機と目的

• 正多角形 $P_n$ のバーティコルス–ライプス複体のホモトピー型および恒続的ホモロジーを完全に特徴づけること。
• 大規模パラメータにおける恒続的ホモロジーが $P_n$ の幾何的特徴をどのように捉えているかを理解すること。
• $P_n$ の稠密な有限部分集合が、完全な多角形のバーティコルス–ライプス複体のホモトピー型を保存するかどうかを調査すること。
• トポロジカル不変量を用いて、$P_n$ と単位円 $S^1$ 間のグロモフ–ハウスドルフ距離の下界を提供すること。

提案手法

• 尺度 $r < r_n$ における $\mathbf{VR}(P_n;r)$ の1スケルトンを分析するため、循環的グラフおよびそのクリーク複体理論を用いる。
• ホモトピー型における球面の次元を制御するために、巻き込み分数の概念を適用する。
• $n = q(2l+1)$ の場合、$\mathbf{VR}(P_n;r)$ が尺度 $r$ と $n$ の値に応じて球面のワッペン和または奇数次元球面とホモトピー同値であることを確立する。
• 尺度パラメータ $s_{n,l}$ と $t_{n,l}$ を用いて $r$ の範囲を分割し、区間ごとにホモトピー型を分類する。
• 距離関数のハウスドルフ距離を含む計量幾何の道具を用いて、$P_n$ と $S^1$ 間のグロモフ–ハウスドルフ距離の下界を導出する。
• 大規模における恒続的ホモロジーの振る舞いを分析し、ラーツェーヴの定理のような小スケール収束結果と対比する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $n$ と $r$ の値に対して、バーティコルス–ライプス複体 $\mathbf{VR}(P_n;r)$ が球面のワッペン和または奇数次元球面とホモトピー同値になるか？
• RQ2 $P_n$ に内接する正三角形星形の数は、$\mathbf{VR}(P_n;r)$ における高次元球面の数とどのように関係しているか？
• RQ3 $P_n$ の稠密な有限部分集合のバーティコルス–ライプス複体は、高次元においても $\mathbf{VR}(P_n;r)$ とホモトピー同値でない可能性があるか？
• RQ4 大規模パラメータにおいて、$P_n$ の恒続的ホモロジーと $S^1$ の恒続的ホモロジーの正確な関係は何か？
• RQ5 リーマン多様体 $M$ のバーティコルス–ライプス複体は、任意のサンプリング密度において、すべての $r>0$ に対して $\mathbf{VR}(M;r)$ とホモトピー同値のままであるか？

主な発見

• $n = q(2l+1)$ のとき、$s_{n,l} < r \leq t_{n,l}$ ならば $\mathbf{VR}_{<}(P_n;r)$ は $\bigvee^{q-1} S^{2l}$ とホモトピー同値であり、$t_{n,l} < r \leq s_{n,l+1}$ ならば $S^{2l+1}$ とホモトピー同値である。
• $r < \tilde{r} \leq t_{n,l}$ または $t_{n,l} < r < \tilde{r} \leq s_{n,l+1}$ のとき、包含写像 $\mathbf{VR}_{<}(P_n;r) \hookrightarrow \mathbf{VR}_{<}(P_n;\tilde{r})$ はホモトピー同値である。これは、区間内でホモトピー型に安定であることを示している。
• $P_n$ の任意に稠密な部分集合のバーティコルス–ライプス複体は、高次元においても $\mathbf{VR}(P_n;r)$ とは異なるホモロジー群を持つ可能性がある。
• 偶数 $n \geq 6$ の場合、$P_n$ と $S^1$ 間のグロモフ–ハウスドルフ距離は $0.116$ 以上である下界を持つ。これは、計量幾何のみから得られるものよりきびしい。
• $0.116$ の下界は、距離関数のハウスドルフ距離によって得られる $0.0986$ の計量に基づく下界を上回る、恒続的ホモロジーから導出されたものである。
• 本稿は、質問9.3に対して否定的な答えを提供している。$n \to \infty$ であっても、$P_n$ の稠密な部分集合 $X \subset P_n$ に対して $\mathbf{VR}(X;r)$ のホモトピー型が $\mathbf{VR}(P_n;r)$ と一致しない可能性があることを示している。