[論文レビュー] Virasoro coadjoint orbits of SYK/tensor-models and emergent two-dimensional quantum gravity

Gautam Mandal, Pranjal Nayak+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) モデルの低エネルギー領域—coset空間 Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$ におけるNambu-Goldstone ボソンによって記述される—と、宇宙定数を伴う2次元量子重力の間に双対性を提案する。この双対性は、漸近的に AdS$_2$ 空間時間におけるポリヤコフ作用素を用いて定式化されており、バルクの経路積分が Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$ 上のシュバルツィアン作用素に簡約されることを示し、自由エネルギーおよびスカラー結合定数がSYKモデルと一致することを示しており、顕在的な AdS$_2$/CFT$_1$ 双対性を支持する。

ABSTRACT

The Nambu-Goldstone (NG) bosons of the SYK model are described by a coset space Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$, where Diff, or Virasoro group, is the group of diffeomorphisms of the time coordinate valued on the real line or a circle. It is known that the coadjoint orbit action of Diff naturally turns out to be the two-dimensional quantum gravity action of Polyakov without cosmological constant, in a certain gauge, in an asymptotically flat spacetime. Motivated by this observation, we explore Polyakov action with cosmological constant and boundary terms, and study the possibility of such a two-dimensional quantum gravity model being the AdS dual to the low energy (NG) sector of the SYK model. We find strong evidences for this duality: (a) the bulk action admits an exact family of asymptotically AdS$_2$ spacetimes, parameterized by Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$, in addition to a fixed conformal factor of a simple functional form; (b) the bulk path integral reduces to a path integral over Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$ with a Schwarzian action; (c) the low temperature free energy qualitatively agrees with that of the SYK model. We show, up to quadratic order, how to couple an infinite series of bulk scalars to the Polyakov model and show that it reproduces the coupling of the higher modes of the SYK model with the NG bosons.

研究の動機と目的

• 宇宙定数を伴う2次元量子重力が、SYK モデルの低エネルギー力学を記述できるかどうかを調査すること。
• SYK モデルのNambu-Goldstone 領域の双対として、AdS$_2$ 重力の出現を探索すること。
• ポリヤコフモデルにおけるバルク経路積分と、SYK モデルの有効シュバルツィアン理論との間の対応関係を確立すること。
• バルクに高スピンモードを結合することで、SYK モデルの高次モード結合を再現すること。

提案手法

• 宇宙定数を伴う2次元量子重力のポリヤコフ作用素と境界項を、漸近的に AdS$_2$ 空間時間において定式化すること。
• 固定された共形因子を伴う、coset空間 Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$ でパラメータ化された一連の正確な解を同定すること。
• バルク経路積分を計算し、それが Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$ 上のシュバルツィアン作用素への経路積分に簡約されることを示すこと。
• バルクモデルの低温自由エネルギーを導出し、SYK モデルの自由エネルギーと比較すること。
• SYK モデルにおける高次モード相互作用を二次の順序まで再現できる、無限個のバルクスカラー結合項の系列を構築すること。
• ゲージ固定と対称性の低減を用いて、バルクの微分同相変換不変性を、有効なSYK力学に写像すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 宇宙定数を伴うポリヤコフ作用素は、Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$ でパラメータ化された漸近的に AdS$_2$ の解を許容するか？
• RQ2 2次元量子重力モデルのバルク経路積分は、確かに Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$ 上のシュバルツィアン作用素に簡約されるか？
• RQ3 バルクモデルの低温自由エネルギーは、SYK モデルのそれと定性的に整合するか？
• RQ4 SYK モデルの高次モードは、ポリヤコフ作用素に無限個のバルクスカラーを結合することで再現可能か？
• RQ5 バルクモデルの境界条件および対称性は、SYK のNambu-Goldstone モードの有効場理論と一致するか？

主な発見

• 宇宙定数を伴うポリヤコフ作用素は、共形因子を固定した一パラメータ族の正確な漸近的 AdS$_2$ 解を許容し、coset空間 Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$ でパラメータ化される。
• バルク経路積分は、正確に Diff/$\mathbb{SL}(2,\mathbb{R})$ 上のシュバルツィアン作用素への経路積分に簡約され、SYK モデルの有効理論と一致する。
• バルクモデルの低温自由エネルギーは、SYK モデルの自由エネルギーと定性的に一致し、熱力学的双対性を支持する。
• 無限個のバルクスカラー場をポリヤコフモデルに結合させることで、それらの相互作用がSYK モデルにおける高次モード結合を二次の順序まで再現できる。
• 特に微分同相変換不変性を特徴とするバルク理論の対称性構造が、自然にSYK モデルのNambu-Goldstone モード力学を生み出す。
• この双対性は、SYK モデルの低エネルギー領域の有効バルク理論として2次元量子重力の出現と整合的である。