[论文解读] Wall-crossing and invariants of higher rank stable pairs

Artan Sheshmani|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文通过冻结三元组——即形如 $(E,F,\phi)$ 的元组，其中 $E \cong \mathcal{O}(-n)^r$，$F$ 为一维纯层，且 $\phi: E \to F$——引入了 Pandharipande-Thomas 稳定对不变量的更高秩类比，并利用 Joyce-Song 与 Kontsevich-Soibelman 的壁穿插公式，计算了其 Donaldson-Thomas 不变量，从而将先前在 Calabi-Yau 三复叠上的虚拟局部化结果推广至更广范围。

ABSTRACT

We introduce a higher rank analogue of the Pandharipande-Thomas theory of stable pairs. Given a Calabi-Yau threefold $X$, we define the frozen triples given by the tuple $(E,F,\phi)$ in which $E$ is a coherent sheaf isomorphic to $O(-n)^r$, $F$ is a pure coherent sheaf with one dimensional support and $\phi$ is given by a morphism from $E$ to $F$. In this article we compute the Donaldson-Thomas type invariants associated to frozen triples using the wall-crossing formula of Joyce-Song and Kontsevich-Soibelman. This work is a sequel to arxiv.1011.6342 where we gave a deformation theoretic construction of an enumerative theory of higher rank stable pairs and using the virtual localization technique computed similar invariants over a Calabi-Yau threefold.

研究动机与目标

• 发展 Pandharipande-Thomas 稳定对理论在更高秩情形下的推广。
• 定义冻结三元组作为 Calabi-Yau 三复叠上更高秩不变量的框架。
• 利用壁穿插技术计算这些更高秩对象的 Donaldson-Thomas 类型不变量。
• 通过壁穿插将先前的虚拟局部化结果推广至更广泛的框架。
• 为更高秩情形下的枚举不变量建立变形理论基础。

提出的方法

• 将冻结三元组定义为形如 $(E,F,\phi)$ 的元组，其中 $E \cong \mathcal{O}(-n)^r$，$F$ 为一维纯的 coherent sheaf，且 $\phi: E \to F$ 为一个态射。
• 采用 Joyce-Song 与 Kontsevich-Soibelman 的壁穿插公式，以关联不同稳定性条件下的不变量。
• 以 arXiv:1011.6342 中关于更高秩稳定对的变形理论构造作为基础框架。
• 将壁穿插机制应用于计算 Calabi-Yau 三复叠上冻结三元组的不变量。
• 结合虚拟局部化技术与壁穿插，提取数值不变量。
• 在 Calabi-Yau 三复叠的背景下工作，以确保不变量定义良好且具有枚举意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 Pandharipande-Thomas 稳定对理论如何推广至更高秩对象？
• RQ2 在 Calabi-Yau 三复叠中，何种几何结构可恰当参数化更高秩稳定对？
• RQ3 与更高秩稳定对相关的不变量在稳定性流形中的壁穿插下如何变换？
• RQ4 壁穿插公式能否有效应用于计算冻结三元组的不变量？
• RQ5 在更高秩情形下，虚拟局部化结果与壁穿插框架之间存在何种关系？

主要发现

• 本文成功通过 Calabi-Yau 三复叠上的冻结三元组定义了稳定对的更高秩类比。
• 建立了利用壁穿插计算更高秩情形下 Donaldson-Thomas 不变量的一致框架。
• 通过 Joyce-Song 与 Kontsevich-Soibelman 的壁穿插公式计算不变量，推广了先前的结果。
• 该方法在更高秩情形下建立了变形理论构造与壁穿插之间的桥梁。
• 该框架将先前的虚拟局部化计算推广至更广泛的稳定性条件范围。
• 该工作证实了在 Calabi-Yau 几何中，更高秩不变量的一致性与枚举意义。