[論文レビュー] Weak convergence of empirical copula processes indexed by functions

Dragan Radulović, Marten Wegkamp+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有界変動関数に対する多変量関数の新しい部分積分公式を用いて、単位超立方体上の関数によってインデックス付けられた経験コプゥラ過程の弱収束を確立する。この過程の弱収束が成り立つ2つの補完的条件——コプゥラの滑らかさ、またはインデックス関数の滑らかさ——を提示する。収束は有界関数の空間で成立する。

ABSTRACT

Weak convergence of the empirical copula process indexed by a class of functions is established. Two scenarios are considered in which either some smoothness of these functions or smoothness of the underlying copula function is required. A novel integration by parts formula for multivariate, right continuous functions of bounded variation, which is perhaps of independent interest, is proved. It is a key ingredient in proving weak convergence of a general empirical process indexed by functions of bounded variation.

研究の動機と目的

• 経験コプゥラ過程を点での評価から関数インデックス付き過程へ一般化すること。
• 関数インデックス付き過程が [0,1]^d 上の有界関数空間で弱収束する条件を同定すること。
• コプゥラが微分可能でない、またはインデックス関数が滑らかでない場合の弱収束に関する文献のギャップを埋めること。
• 多変量右連続有界変動関数に対する新しい部分積分公式を構築すること。この公式は証明の中心的役割を果たす。

提案手法

• Lebesgue-Stieltjes積分と整合性を持つように、経験コプゥラ過程の càdlàg 版 $\bar{\mathbb{C}}_n$ を用いる。
• 標準の経験コプゥラ過程を一般化する関数インデックス付き過程 $\bar{\mathbb{Z}}_n(g) = \sqrt{n} \int g \, d(\bar{\mathbb{C}}_n - C)$ を定義する。
• 有界変動関数に対する新しい部分積分公式を証明し、インデックス付き過程の解析を可能にする。
• 2つの状況での弱収束を確立する：(1) コプゥラ $C$ の滑らかさ、(2) インデックス関数 $g$ の滑らかさ。
• 有界変動関数のジョルダン分解を用い、Aistleitner & Dick (2014) の対応関係を通じて測度と関連付ける。
• Vitali変動およびHK変動理論を適用し、低次元射影における測度の有限性を確認することで、適切に定義された積分を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $g$ によってインデックス付けられた経験コプゥラ過程が $\ell^\infty([0,1]^d)$ で弱収束する条件は何か？
• RQ2 コプゥラ $C$ が微分可能でないが、インデックス関数 $g$ が滑らかである場合に弱収束を確立できるか？
• RQ3 コプゥラ $C$ が滑らかであるが、インデックス関数 $g$ が微分可能でない場合に弱収束を確立できるか？
• RQ4 多変量有界変動関数に対する部分積分の役割は、インデックス付き過程の弱収束を証明する上でどのように果たすか？
• RQ5 有界変動関数から定義される測度を低次元射影上で一貫して定義する方法は何か？

主な発見

• 多変量右連続有界変動関数に対する新しい部分積分公式が確立され、これは独立した価値を持ち、主結果の中心的役割を果たす。
• コプゥラ $C$ の滑らかさ、またはインデックス関数 $g$ の滑らかさという2つの補完的条件の下で、関数インデックス付き経験コプゥラ過程 $\bar{\mathbb{Z}}_n(g)$ の弱収束が証明された。
• Van der Vaart & Wellner (2007) のわずかな誤りを是正し、連続性に加えて一様等連続性を部分導関数に要求する必要があることを示した。
• 同じ弱い条件下で、過程 $\bar{\mathbb{Z}}_n(g)$ が標準の経験コプゥラ過程と漸近的に同値であることが示された。これはSegers (2012) の結果と一致する。
• 有界HK変動を示す関数の低次元射影からの測度は、そのVitali変動が有限であるため、適切に定義される。
• 証明により、多変量部分積分公式における係数は、インデックスの和が空集合でない限り消えることが示され、最終的な恒等式において明確なキャンセル構造が得られた。