[論文レビュー] Weak convergence rates for Euler-type approximations of semilinear stochastic evolution equations with nonlinear diffusion coefficients

Arnulf Jentzen, Ryan Kurniawan|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 73被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、非線形拡散係数を有する半線形確率微分方程式（SEEs）の線形陰的エーラー型近似について、本質的に鋭い弱収束速度を確立する。文脈の空白を埋めるために、弱イト型公式と数値スキームの半線形統合型対応物を用い、非線形項およびノイズ係数の正則性と可積分性条件の下で最適な収束速度を導出する。

ABSTRACT

Strong convergence rates for time-discrete numerical approximations of semilinear stochastic evolution equations (SEEs) with smooth and regular nonlinearities are well understood in the literature. Weak convergence rates for time-discrete numerical approximations of such SEEs have been investigated since about 12 years and are far away from being well understood: roughly speaking, no essentially sharp weak convergence rates are known for time-discrete numerical approximations of parabolic SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions; see Remark 2.3 in [A. Debussche, Weak approximation of stochastic partial differential equations: the nonlinear case, Math. Comp. 80 (2011), no. 273, 89-117] for details. In the recent article [D. Conus, A. Jentzen & R. Kurniawan, Weak convergence rates of spectral Galerkin approximations for SPDEs with nonlinear diffusion coefficients, arXiv:1408.1108] the weak convergence problem emerged from Debussche's article has been solved in the case of spatial spectral Galerkin approximations for semilinear SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions. In this article we overcome the problem emerged from Debussche's article in the case of a class of time-discrete Euler-type approximation methods (including exponential and linear-implicit Euler approximations as special cases) and, in particular, we establish essentially sharp weak convergence rates for linear-implicit Euler approximations of semilinear SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions. Key ingredients of our approach are applications of a mild It\^o type formula and the use of suitable semilinear integrated counterparts of the time-discrete numerical approximation processes.

研究の動機と目的

• 非線形拡散係数を有する放物型半線形確率微分方程式（SEEs）の時間離散化数値近似における、本質的に鋭い弱収束速度の欠如を是正すること。
• デブーシュ（2011）が指摘した未解決問題を克服し、このような方程式に対しては、そのような収束速度が未知であったことに対処すること。
• 非線形拡散係数を有するSPDEの文脈において、指数型および線形陰的変種を含む線形陰的エーラースキームの最適な弱収束速度を確立すること。
• 放物型アンダーソンモデルやカーン＝ヒリャール＝クック型方程式を含む広範なSPDEクラスに適用可能な一般枠組みを提供すること。
• 弱誤差の上界と下界を導出し、得られた収束速度の鋭さを確認すること。

提案手法

• 非マルコフ的かつ非線形構造を有するSPDEに特化した stochastic calculus 手法を導出するため、穏やかなイト型公式を適用する。
• 弱誤差伝搬の分析のため、時間離散化エーラー型スキームの半線形統合型対応物を導入する。
• 真の解と近似解の挙動を制御するため、SPDEに対する強い事前推定と摂動バウンドを用いる。
• 統合数値プロセスの弱時間正則性を確立し、弱収束解析を可能にする。
• 分散推定とモーメントバウンドを組み合わせ、弱誤差の下界を導出し、収束速度の鋭さを確認する。
• 弱収束を非線形汎関数の期待値を用いて分析するため、ϕ(v) = exp(−∥v∥²_H) の形のテスト関数を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形拡散係数を有する半線形SPDEの線形陰的エーラー型近似における弱収束速度は何か？
• RQ2 非線形拡散係数を有する時間離散化スキームにおいて、デブーシュ（2011）が残した弱収束問題は解消可能か？
• RQ3 導出された弱収束速度は本質的に鋭く、下界を用いてその確認が可能か？
• RQ4 非線形ドリフトおよび拡散係数の正則性と可積分性は、弱収束挙動にどのように影響するか？
• RQ5 特定のテスト関数を用いて弱誤差の下界を評価可能か？ そして、これは収束速度の最適性を確認するか？

主な発見

• 適切な正則性および可積分性条件の下で、非線形拡散係数を有する半線形SPDEの線形陰的エーラー近似について、本質的に鋭い弱収束速度 h^(1/2 - ε) を確立する。
• 放物型アンダーソンモデルおよび線形カーン＝ヒリャール＝クック型方程式の両方において、下界を用いて導出された弱収束速度が最適であることが示される。
• テスト関数 ϕ(v) = exp(−∥v∥²_H) を用いて弱誤差の下界を導出し、誤差が h^(1/2 - 2δ) の正の定数倍で下から抑えられることを示す（δ < 1/4）。
• 区間 (0,1) 上のラプラシアンとディリクレ境界条件の下では、弱収束速度は h^(1/2 - 2δ)（δ < 1/4）であり、下界はT、δ、初期データに依存する正の定数に比例して明示的に定量化される。
• 分析により、δ < 1/4 の場合、弱収束速度を h^(1/2 - 2δ) を超えて改善することは不可能であることが確認され、上界の鋭さが確立される。
• 半線形統合数値プロセスの導入と穏やかなイト微積分の適用により、非線形拡散係数を有するSPDEの弱収束解析における技術的困難を効果的に克服した。