[論文レビュー] Weak convergence rates of spectral Galerkin approximations for SPDEs with nonlinear diffusion coefficients

Daniel Conus, Arnulf Jentzen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 46被引用数 44

ひとこと要約

本稿は、マルチアン・カウルキュラスに依存せず、修正されたガレルキン過程と弱イト型公式に基づく新規なアプローチを用いて、非線形拡散係数を有する半線形確率偏微分方程式（SPDEs）のスペクトルガレルキン近似に対して、本質的に鋭い弱収束速度を確立している。主な結果は、テスト関数が $C_b^4(H, \mathbb{R})$ に属する場合、ガレルキン射影の次元 $N$ に対して収束速度 $Ó(N^{-\gamma})$ を得ることである。ここで $Ó$ は係数およびノイズの正則性に依存する。

ABSTRACT

Strong convergence rates for (temporal, spatial, and noise) numerical approximations of semilinear stochastic evolution equations (SEEs) with smooth and regular nonlinearities are well understood in the scientific literature. Weak convergence rates for numerical approximations of such SEEs have been investigated since about 11 years and are far away from being well understood: roughly speaking, no essentially sharp weak convergence rates are known for parabolic SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions; see Remark 2.3 in [A. Debussche, Weak approximation of stochastic partial differential equations: the nonlinear case, Math. Comp. 80 (2011), no. 273, 89-117] for details. In this article we solve the weak convergence problem emerged from Debussche's article in the case of spectral Galerkin approximations and establish essentially sharp weak convergence rates for spatial spectral Galerkin approximations of semilinear SEEs with nonlinear diffusion coefficient functions. Our solution to the weak convergence problem does not use Malliavin calculus. Rather, key ingredients in our solution to the weak convergence problem emerged from Debussche's article are the use of appropriately modified versions of the spatial Galerkin approximation processes and applications of a mild It\^{o} type formula for solutions and numerical approximations of semilinear SEEs. This article solves the weak convergence problem emerged from Debussche's article merely in the case of spatial spectral Galerkin approximations instead of other more complicated numerical approximations. Our method of proof extends, however, to a number of other kind of spatial, temporal, and noise numerical approximations for semilinear SEEs.

研究の動機と目的

• 非線形拡散係数を有する半線形SPDEの空間的スペクトルガレルキン近似に対して、長年の未解決問題である本質的に鋭い弱収束速度を確立すること。
• デブーシュ（2011）の研究で示されたように、拡散係数の2階微分に制限的な滑らかさ仮定を要する従来の手法の限界を克服すること。
• マルチアン・カウルキュラスを避ける新しい証明戦略を構築し、代わりに修正されたガレルキン近似と解および数値近似に対する弱イト型公式に依存すること。
• 導出された弱収束速度の鋭さを確認する下界を提供することにより、与えられた正則性仮定のもとで速度を向上させることはできないことを示すこと。

提案手法

• 非線形性を扱うために、標準的な空間的ガレルキン近似プロセスの適切な修正版を導入する。
• 解とそのガレルキン近似の間の弱誤差を分析するために、解および近似に弱イト型公式を適用する。
• 滑らか化された非線形項を用いた摂動法により、滑らか化された解の強収束を確立し、これをもって弱収束速度を導出する。
• 滑らか化された解と元の解を含む項の和に弱誤差を新しい形で分解し、モーメント推定とイト等長性を活用する。
• テスト関数 $\phi(x) = \exp(-\|x\|_H^2)$ および $\phi(x) = \|x\|_H^2$ を用いて弱誤差の下界を導出し、収束速度が向上できないことを示す。
• 固有値とノイズ係数におけるべき乗則の減衰を有する明示的な例を構築し、$N$（ガレルキン次元）に関する明示的な下界を導出することにより、弱収束速度の鋭さを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な正則性仮定のもとで、非線形拡散係数を有する半線形SPDEのスペクトルガレルキン近似の最適な弱収束速度は何か？
• RQ2 拡散係数の2階微分に制限的な滑らかさ条件を課さず、マルチアン・カウルキュラスに依存せずに弱収束速度を確立できるか？
• RQ3 弱収束速度は初期データの正則性、線形作用素、およびノイズ構造にどのように依存するか？
• RQ4 導出された弱収束速度が、弱誤差の下界を用いて鋭いことが示せるか？
• RQ5 弱誤差はガレルキン射影の次元 $N$ にどのように依存するか？ そして、これは明確に定量的に表現できるか？

主な発見

• テスト関数が $C_b^4(H, \mathbb{R})$ に属する場合、本稿は収束速度 $Ó(N^{-\gamma})$ を確立しており、$Ó$ は係数およびノイズの正則性に依存する。この速度は本質的に鋭い。
• テスト関数 $\phi(x) = \exp(-\|x\|_H^2)$ に対して、弱誤差は下界 $\mathbb{E}[\phi(X_I^T)] - \mathbb{E}[\phi(X_H^T)] \gtrsim \mathbb{E}[\phi(X_H^T)] \cdot \frac{\mathbb{E}[\|X_{H\setminus I}^T\|^2_H]}{2(1 + \mathbb{E}[\|X_{H\setminus I}^T\|^2_H])^{3/2}}$ を満たし、速度の鋭さが確認される。
• 具体的な例として $\lambda_n = -\pi^2 n^2$ および $\mu_n = |\lambda_n|^\delta$（$\delta < 1/4$）を想定すると、弱誤差は $\mathbb{E}[\phi(X_{\{b_1,\dots,b_N\}}^T)] - \mathbb{E}[\phi(X_H^T)] \gtrsim |\lambda_{b_N}|^{-(1 - 1/2 - 2\delta)} \cdot \text{const}$ を満たし、$N$ への明示的依存が示される。
• 下界解析により、導出された弱収束速度は向上できないことが確認され、誤差が上界と一致する速度で減少することが示される。
• この手法は、スペクトルガレルキン近似に限らず、有限要素法や有限差分法などの他の数値スキームへも拡張可能である。
• 証明においてマルチアン・カウルキュラスが使用されていないことは、技術的に顕著な貢献であり、複雑な確率積分の道具を避けることで解析を単純化している。