[論文レビュー] Weak n-categories: comparing opetopic foundations

Eugenia Cheng|ArXiv.org|Apr 21, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、整然とした対称多重圏からカルテジアンモノイドへと至る関手を構成することにより、Baez-Dolan のオペトープとLeinster のオペトープの間で圏的同値性を確立する。対称多重圏におけるスライス構成が、カルテジアンモノイドにおける自由オペラッドモノイド構成に対応することを示し、$k$-オペトープと$k$-マルチトープのカテゴリの間で明示的な同型が得られることを示している。この結果により、弱い$n$-圏を記述する2つの基礎的アプローチが、オペトープ的構造によって統一される。

ABSTRACT

We define the category of tidy symmetric multicategories. We construct for each tidy symmetric multicategory Q a cartesian monad (E_Q,T_Q) and extend this assignation to a functor. We exhibit a relationship between the slice construction on symmetric multicategories, and the `free operad' monad construction on suitable monads. We use this to give an explicit description of the relationship between Baez-Dolan and Leinster opetopes.

研究の動機と目的

• BaezとDolanが提唱した弱い$n$-圏のオペトープ的基礎と、Leinsterが提唱したそれとの間の関係を明確化すること。
• 高次元の合成における構成要素のセルの順序付けという基礎的問題を、対称多重圏と$({\rm\bf E},T)$-多重圏の比較によって解決すること。
• 整然とした対称多重圏からカルテジアンモノイドへの関手を構成し、スライス構成を保存することにより、2つのアプローチを結びつけること。
• この構成を通じて、$k$-オペトープと$k$-マルチトープのカテゴリが同型であることを示すこと。
• 整然とした対称多重圏を用いた一般化により、元々のBaez-Dolanのオペトープ定義を拡張すること。

提案手法

• 対象の離散圏を持つ自由に対称なものを対象とする、整然とした対称多重圏の圏を定義する。
• 各整然とした対称多重圏$Q$に対して、$Q$-対象のラベル付き集合に作用するカルテジアンモノイド$(\rm{f E}_Q, T_Q)$を構成する。
• 対称多重圏からカルテジアンモノイドへの関手$\zeta: \text{TidySymMulticat} \to \text{CartMonad}$を確立する。
• 対称多重圏におけるスライス処理が、カルテジアンモノイドにおける自由オペラッドモノイド構成に対応することを示す。
• $k$重反復スライス処理によって誘導される写像が、$k$-オペトープと$k$-マルチトープのカテゴリの間の同型を定める。
• 引き戻し構成と、矢印の同型類に関する帰納的定義を用いて、$C^{(k+1)}$を終域集合$A_2$に埋め込み、自然性および可換条件を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Baez-DolanとLeinsterのオペトープ構成は、それぞれ異なる基礎的構造を持つが、圏論的にどのように関係しているか？
• RQ2 対称多重圏におけるスライス構成は、カルテジアンモノイドにおける自由オペラッドモノイド構成と自然に関係づけられるか？
• RQ3 カルテジアンモノイドは、オペトープ的合成をどのようにモデル化するのか、また対称多重圏との比較においてその役割は何か？
• RQ4 整然とした対称多重圏とカルテジアンモノイドの間には、反復スライス構造を保存する関手的対応があるか？
• RQ5 整然とした対称多重圏を用いたオペトープの一般化は、元のBaez-Dolanのオペトープ定義を回復するか、あるいは拡張するか？

主な発見

• 整然とした対称多重圏からカルテジアンモノイドへの関手$\zeta$は、スライス構成を同値まで保存する。これにより、対称多重圏と$({\rm\bf E},T)$-多重圏の間の橋渡しの役割を果たす。
• $k$-オペトープと$k$-マルチトープのカテゴリは、$k$重スライス処理から誘導される写像を通じて同型である。
• $g_{k+1}$を$\mathbb{C}^{(k)} \times_{S'} A$から$\text{elt}\,Q^+ \times_{{\mathcal{F}}S'^{\rm op}} {\mathcal{F}}A^{\rm op}$への全単射関手として構成することで、$C^{(k+1)}$を$A_2$に埋め込む帰納的ステップが保証される。
• 誘導された写像$A_1 \to A_2$は同型である。これにより、構成がオペトープ的集合の下位圏的構造を尊重していることが確認される。
• モノイドのオペファンクターの自然性が検証され、集合の圏上の$S'$への射影のカテゴリにおける射に関して、$Q \mapsto (\rm{f E}_Q, T_Q)$の割当てが整合的であることが示された。
• 最終的な同型$(\rm{f E}_{Q^+}, T_{Q^+}) \cong (\rm{f E}_Q', T_Q')$により、スライス処理の過程を通じてモノイド構成の整合性と一貫性が確認された。