[論文レビュー] Structures in higher-dimensional category theory

Tom Leinster|ArXiv.org|Sep 4, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、(S, ∗)-構造付き圏を、(S, ∗) 上の自由モノイドモノイドの代数の圏における圏対象として定義することにより、モノイダル圏を高次元圏論へ一般化する。これは、モノイダル圏とマルチカテゴリの間の既知の随伴を拡張するが、忘却関手は全射ではない（全射的ではない）が忠実である。

ABSTRACT

This paper, written in 1998, aims to clarify various higher categorical structures, mostly through the theory of generalized operads and multicategories. Chapters I and II, which cover this theory and its application to give a definition of weak n-category, are largely superseded by my thesis (math.CT/0011106), but Chapters III and IV have not appeared elsewhere. The main result of Chapter III is that small Gray-categories can be characterized as the sub-tricategories of the tricategory of 2-categories, homomorphisms, strong transformations and modifications; there is also a conjecture on coherence in higher dimensions. Chapter IV defines opetopes and a category of n-pasting diagrams for each n, which in the case n=2 is a definition of the category of trees.

研究の動機と目的

• 任意のカルテジアン圏 (S, ∗) におけるモノイダル圏の理論を (S, ∗)-構造付き圏を定義することで拡張すること。
• モノイダル圏とマルチカテゴリの間の既知の随伴を、より広い設定へ一般化すること。
• モノイド的随伴を用いて、(S, ∗)-構造付き圏の背後にある圏的構造を調査すること。
• (S, ∗)-構造付き圏からマルチカテゴリへの忘却関手の役割を明確にし、それが忠実であるが全射的ではないことを示すこと。

提案手法

• S 上の自由モノイドモノイドの代数の圏における圏対象として (S, ∗)-構造付き圏を定義する。
• S 上のモノイド ()∗ を用いて、代数の圏 S(∗) を構成し、これにより構造付き圏を定義する基盤とする。
• (S, ∗)-構造付き圏からマルチカテゴリへの忘却関手 U を構成し、それが忠実であるが全射的でないことを示す。
• マルチカテゴリから (S, ∗)-構造付き圏への自由関手 F を構成し、随伴 (F ⊣ U) を形成する。
• この随伴がモノイド的であることを、モノイド的定理を用いて証明する。
• 全射性の失敗を、1 → Δ というマルチカテゴリの写像がモノイド的構造を保存しない例を提示することで分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元圏論において、モノイダル圏は任意のカルテジアン圏 (S, ∗) に対してどのように一般化できるか？
• RQ2 (S, ∗)-構造付き圏とマルチカテゴリの間の圏的関係は何か？
• RQ3 (S, ∗)-構造付き圏からマルチカテゴリへの忘却関手はモノイド的か？
• RQ4 忘却関手がなぜ全射的でないのか、そしてこれはマルチカテゴリの写像の構造にどのような意味を持つのか？
• RQ5 自由モノイドモノイド ()∗ は、構造付き圏を定義する際に果たす役割は何か？

主な発見

• この論文は、S 上の自由モノイドモノイドの代数の圏における圏対象として (S, ∗)-構造付き圏を定義することにより、モノイダル圏を (S, ∗)-構造付き圏へ成功裏に一般化した。
• (S, ∗)-構造付き圏の圏とマルチカテゴリの圏との間で、モノイド的随伴が確立された。
• (S, ∗)-構造付き圏からマルチカテゴリへの忘却関手は、1 → Δ という例を用いて、忠実であるが全射的でないことが示された。
• 全射性の欠如は、一部のマルチカテゴリの写像が対象を保存してもモノイド的構造を保存しないことによる。
• この構成は、古典的なモノイダル圏とマルチカテゴリの間の随伴を一般化し、任意のカルテジアン圏 (S, ∗) に対して有効である。