[論文レビュー] Weights at the Bottom Matter When the Top is Heavy.

Arkadev Chattopadhyay, Nikhil S. Mande|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、THR of MAJ と THR of THR 回路の間で指数的分離を確立する。関数 f が線形サイズの THR of THR 回路で計算可能であるが、符号ランクが指数的に大きくなるように構築することで、f は指数的に大きな THR of MAJ 回路を必要とする。主な技術的進展は、近似理論的道具を用いてXOR関数の符号ランク下界を初めて確立したことである。

ABSTRACT

Proving super-polynomial lower bounds against depth-2 threshold circuits of the form THR of THR is a well-known open problem that represents a frontier of our understanding in boolean circuit complexity. By contrast, exponential lower bounds on the size of THR of MAJ circuits were shown by Razborov and Sherstov (SIAM J.Comput., 2010) even for computing functions in depth-3 AC^0. Yet, no separation among the two depth-2 threshold circuit classes were known. In fact, it is not clear a priori that they ought to be different. In particular, Goldmann, Hastad and Razborov (Computational Complexity, 1992) showed that the class MAJ of MAJ is identical to the class MAJ of THR. In this work, we provide an exponential separation between THR of MAJ and THR of THR. We achieve this by showing a function f that is computed by linear size THR of THR circuits and yet has exponentially large sign rank. This, by a well-known result, implies that f requires exponentially large THR of MAJ circuits to be computed. Our result suggests that the sign rank method alone is unlikely to prove strong lower bounds against THR of THR circuits. The main technical ingredient of our work is to prove a strong sign rank lower bound for an XOR function. This requires novel use of approximation theoretic tools.

研究の動機と目的

• ブール回路複雑性における THR of MAJ と THR of THR 回路の分離問題を解くこと。
• 符号ランク法が THR of THR 回路に対する強い下界を証明するのに不十分であることを示すこと。
• THR of THR 回路で効率的に計算可能なが、符号ランクが指数的に大きな関数 f を構築すること。
• 強い符号ランク下界を証明するための新しい近似理論的技法を開発すること。
• 特に MAJ of MAJ = MAJ of THR などの先行的な同値関係を踏まえて、深さ2のしきい値回路クラスの相対的な計算能力を明確にすること。

提案手法

• 符号ランクが指数的に大きな特定のXOR関数 f を構築し、高度な近似理論を用いてその符号ランクが指数的に大きくなることを示す。
• 符号ランクと回路サイズ下界を結ぶよく知られた結果を活用する：高い符号ランクは、THR of MAJ 回路サイズが大きいことを意味する。
• 既存の手法の限界を克服するため、XOR関数に対して強い符号ランク下界を確立するために、新しい近似理論的道具を用いる。
• 線形サイズの THR of THR 回路で計算可能な関数 f を設計し、回路クラスの分離が非自明であることを保証する。
• 双対性と多項式近似技法を用いて、しきい値ゲートと多数決ゲートの文脈での関数 f の符号ランクを分析する。
• f の符号ランクが超多項式的であることを示し、これは f が小さな THR of MAJ 回路では計算できないことを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 THR of MAJ と THR of THR の回路クラスの間に指数的分離を確立できるか？
• RQ2 符号ランク法は、THR of THR 回路に対する強い下界を証明するのに十分か？
• RQ3 THR of THR 回路で効率的に計算可能だが、符号ランクが指数的に大きな関数を構築できるか？
• RQ4 XOR関数に対して強い符号ランク下界を証明するためには、どのような新しい近似理論的道具が必要か？
• RQ5 MAJ of MAJ = MAJ of THR などの先行的な同値関係を踏まえると、THR of MAJ と THR of THR 回路の計算能力はどのように比較できるか？

主な発見

• 関数 f は線形サイズの THR of THR 回路で計算可能であり、このクラスにおける計算可能性が確立された。
• 関数 f は符号ランクが指数的に大きいため、f を計算する任意の THR of MAJ 回路は指数的に大きくならなければならない。
• これにより、THR of MAJ と THR of THR の回路クラスの間で指数的分離が確立された。
• 符号ランク法だけでは、THR of THR 回路に対する強い下界を得るのは不確実である。なぜなら、符号ランクが高いが THR of THR 複雑度が低い関数が存在するからである。
• 近似理論的道具の新規応用により、この文脈で初めてXOR関数に対する強い符号ランク下界が達成された。
• 結果として、THR of THR 回路は THR of MAJ 回路よりも厳密に強力であることが示され、回路複雑性における長年の未解決問題が解決された。