[論文レビュー] Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space II. Kahler potential and period mapping

Leon A. Takhtajan, Lee-Peng Teo|ArXiv.org|Jun 21, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、普遍テイヒミュラー空間 $T_0(1)$ におけるウェイル・ペトロフスキー計量をヒルベルト多様体として確立し、普遍リウヴィル作用 $\mathsf{S}_1$ がそのケーラー潜在関数であることを証明する。さらに、$\ell^2$ 上の有界作用素の空間への正則な普遍周期写像 $\hat{\mathscr{P}}$ を定義し、それが KYNS 周期写像と一致し、$T_0(1)$ をセガール＝ウィルソンのグラスマン多様体に写像することを示す。対称なホメオモルフィズムの像はコンパクト作用素に写る。

ABSTRACT

We study the Hilbert manifold structure on $T_{0}(1)$ -- the connected component of the identity of the Hilbert manifold T(1). We characterize points on $T_{0}(1)$ in terms of Bers and pre-Bers embeddings, and prove that the Grunsky operators $B_{1}$ and $B_{4}$, associated with the points in $T_{0}(1)$ via conformal welding, are Hilbert-Schmidt. We define a ``universal Liouville action'' -- a real-valued function $\SSS_{1}$ on $T_{0}(1)$, and prove that it is a Kähler potential of the Weil-Petersson metric on $T_{0}(1)$. We also prove that $\SSS_{1}$ is $- frac{1}{12π}$ times the logarithm of the Fredholm determinant of associated quasi-circle, which generalizes classical results of Schiffer and Hawley. We define the universal period mapping $\hat{\cP}: T(1) o\cB(\ell^{2})$ of T(1) into the Banach space of bounded operators on the Hilbert space $\ell^{2}$, prove that $\hat{\cP}$ is a holomorphic mapping of Banach manifolds, and show that $\hat{\cP}$ coincides with the period mapping introduced by Kurillov and Yuriev and Nag and Sullivan. We prove that the restriction of $\hat{\cP}$ to $T_{0}(1)$ is an inclusion of $T_{0}(1)$ into the Segal-Wilson universal Grassmannian, which is a holomorphic mapping of Hilbert manifolds. We also prove that the image of the topological group $S$ of symmetric homeomorphisms of $S^{1}$ under the mapping $\hat{\cP}$ consists of compact operators on $\ell^{2}$.

研究の動機と目的

• 普遍テイヒミュラー空間 $T(1)$ の単位元を含む連結成分 $T_0(1)$ のヒルベルト多様体構造を特徴づけること。
• 普遍リウヴィル作用 $\mathsf{S}_1$ が $T_0(1)$ 上のウェイル・ペトロフスキー計量のケーラー潜在関数であることを定義し、証明すること。
• $T(1)$ から $\mathscr{B}(\ell^2)$ への正則な普遍周期写像 $\hat{\mathscr{P}}$ を確立し、KYNS およびナーグ＝サリヴァンの構成と整合することを示すこと。
• $S^1$ 上の対称ホメオモルフィズムの群 $S$ が $\hat{\mathscr{P}}$ によって写される像が $\ell^2$ 上のコンパクト作用素からなることを証明すること。
• $T_0(1)$ の点に関連するグリュニツキー作用素 $B_1$ および $B_4$ がヒルベルト＝シュミット作用素であることを示し、それらがフレドホルム行列式および古典的結果と関連することを示すこと。

提案手法

• $T_0(1)$ を前ベルス埋め込み $\hat{\beta}$ を用いて特徴づけ、それが対称ホメオモルフィズム群 $S$ の部分群であることを示すこと。
• ベッカー＝ポンメレンケの定理とガーディナー＝サリヴァンの特徴づけを用い、$T_0(1)$ を正則関数でその微分が平方可積分であるような空間 $A_2^1(\mathbb{D})$ および $A_2^1(\mathbb{D}^*)$ と関連付けること。
• 普遍リウヴィル作用 $\mathsf{S}_1$ を $T_0(1)$ 上の実数値関数として定義し、それがウェイル・ペトロフスキー計量のケーラー潜在関数であることを証明すること。
• $\mathsf{S}_1 = -\frac{1}{12\pi} \log \det_{\text{Fredholm}}(I - B_1 B_1^*)$ を示し、シュフィファーとオーヘイの結果を一般化すること。
• グリュニツキー作用素を用いて $\hat{\mathscr{P}}: T(1) \to \mathscr{B}(\ell^2)$ を定義し、それがバナッハ多様体値の正則写像であることを示すこと。
• $\hat{\mathscr{P}}$ の $T_0(1)$ への制限が、セガール＝ウィルソンの普遍グラスマン多様体への正則ヒルベルト多様体埋め込みであることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍リウヴィル作用 $\mathsf{S}_1$ は $T_0(1)$ 上のウェイル・ペトロフスキー計量のケーラー潜在関数か？
• RQ2 $T_0(1)$ の点に関連するグリュニツキー作用素 $B_1$ および $B_4$ は、ヒルベルト＝シュミット作用素およびフレドホルム作用素としてどのように関連しているか？
• RQ3 普遍周期写像 $\hat{\mathscr{P}}$ は KYNS およびナーグ＝サリヴァンの周期写像と一致するか？
• RQ4 $S^1$ 上の対称ホメオモルフィズム群 $S$ が $\hat{\mathscr{P}}$ によって写される像は何か？
• RQ5 $I - B_1 B_1^*$ のフレドホルム行列式は $\mathsf{S}_1$ を用いて表現可能か？

主な発見

• 普遍リウヴィル作用 $\mathsf{S}_1$ は $T_0(1)$ 上のウェイル・ペトロフスキー計量のケーラー潜在関数であり、明示的に $\mathsf{S}_1 = -\frac{1}{12\pi} \log \det_{\text{Fredholm}}(I - B_1 B_1^*)$ と与えられる。
• $T_0(1)$ の点に関連するグリュニツキー作用素 $B_1$ および $B_4$ はヒルベルト＝シュミット作用素であり、それらのフレドホルム行列式は普遍リウヴィル作用を通じてケーラー潜在関数と関連している。
• 写像 $\hat{\mathscr{P}}: T(1) \to \mathscr{B}(\ell^2)$ はバナッハ多様体値の正則写像であり、KYNS およびナーグ＝サリヴァンの周期写像と一致する。
• $\hat{\mathscr{P}}$ の $T_0(1)$ への制限は、セガール＝ウィルソンの普遍グラスマン多様体への正則ヒルベルト多様体埋め込みとして実現される。
• $S^1$ 上の対称ホメオモルフィズム群 $S$ が $\hat{\mathscr{P}}$ によって写される像は、$\ell^2$ 上のコンパクト作用素のイデアル $\mathscr{S}_\infty$ に含まれる。
• $\hat{\mathscr{P}}$ は連続であり、埋め込みの塔 $T_0(1) \hookrightarrow S \hookrightarrow T(1)$ を尊重する。すべての写像は正則であり、ベルズおよび前ベルズ埋め込みと整合する。