[논문 리뷰] Wellposedness and regularity estimate for stochastic Cahn--Hilliard equation with unbounded noise diffusion

Jianbo Cui, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 04.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 곱셈형 공간-시간 백색잡음과 부분선형 확산을 갖는 1차원 스토크래틱 Cahn–Hilliard 방정식에 대해 전역 존재성과 최적 정규성 추정을 확립한다. 스펙트럼 갈레르킨 방법과 인수분해 기법을 적용하여, 근사해의 강한 수렴 속도가 정확하게 유도되며, 일반적인 부분선형 성장 조건을 갖는 잡음 확산에 대해 처음으로 전역 존재성과 정규성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by multiplicative space-time white noise with diffusion coefficient of sublinear growth. By introducing the spectral Galerkin method, we first obtain the well-posedness of the approximated equation in finite dimension. Then with the help of the semigroup theory and the factorization method, the approximation processes is shown to possess many desirable properties. Further, we show that the approximation process is strongly convergent in certain Banach space via the interpolation inequality and variational approach. Finally, the global existence and regularity estimate of the unique solution process are proven by means of the strong convergence of the approximation process.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 부분선형 성장 조건을 갖는 잡음 확산을 갖는 스토크래틱 Cahn–Hilliard 방정식에 대해 공간-시간 백색잡음이 존재할 때 전역 존재성 문제를 해결하기 위해.
• 해 과정에 대한 최적의 시간 및 공간 정규성 추정을 확립하기 위해.
• 적절한 바나흐 공간에서 스펙트럼 갈레르킨 근사의 최적 강한 수렴 속도를 도출하기 위해.
• 장기적 분석과 수치적 안정성에 핵심적인 역할을 하는 미약해의 지수적 적분 가능성 증명을 위해.

제안 방법

• 유한차원 부분공간에서 스토크래틱 Cahn–Hilliard 방정식을 이산화하기 위해 스펙트럼 갈레르킨 방법을 사용하기 위해.
• 반군 이론과 인수분해 방법을 사용하여 근사 방정식의 잘 정의됨과 균일한 사전 추정을 도출하기 위해.
• 보간 부등식과 변분 기법을 적용하여 $L^p(\text{dom}; C([0,T]; \text{H}))$에서 근사 수열의 강한 수렴성을 확립하기 위해.
• 반군 $S(t) = e^{-A^2 t}$의 부드러움 효과를 활용하여 동차 딜레르흐 경계 조건 하에서 정확한 공간 수렴 속도를 도출하기 위해.
• 에너지 추정에서 비선형 항을 제어하기 위해 가가르도–니레버그 및 얀 불등식을 사용하기 위해.
• 지수 마틴갈 렘마와 근사해 수열에 대한 균일한 유계성을 활용하여 지수적 적분 가능성을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분선형 성장 확산 계수와 공간-시간 백색잡음을 갖는 스토크래틱 Cahn–Hilliard 방정식에 대해 해의 전역 존재성이 확보될 수 있는가?
• RQ2 일반적인 부분선형 잡음 확산 조건 하에서 이 방정식에 대해 스펙트럼 갈레르킨 방법의 최적 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 곱셈형 공간-시간 백색잡음 존재 조건 하에서 해 과정이 최적의 시간 및 공간 정규성 추정을 갖는가?
• RQ4 동일한 조건 하에서 해의 지수적 적분 가능성은 확보될 수 있는가? 이는 국소적이지 않은 SPDE 분석에 응용 가능하게 한다.

주요 결과

• 초기 자료 $X_0 \notin \text{H}^1$ 이지만 $\text{H}^\beta$에 속할 경우, 스토크래틱 Cahn–Hilliard 방정식의 해 과정 $X(t)$ 는 미약한 의미에서 전역적으로 존재하고 유일하다.
• 스펙트럼 갈레르킨 근사 $X^N$ 은 $L^p(\text{dom}; C([0,T]; \text{H}))$에서 진짜 해 $X$로 강하게 수렴하며, 수렴 속도는 $O(\rho_N^{-\tau/2})$ 이다. 여기서 $\rho_N$ 은 $A$의 $N$번째 고유값이다.
• 해는 최적의 시간 정규성 추정을 만족한다: $\big\rrVert X(t) - X(s) \big\rrVert_{L^p(\text{dom}; \text{H})} \triangleq C(X_0, T, p) |t-s|^{\frac{\tau}{4}}$ 이며, $0 \triangleq s \triangleq t \triangleq T$ 이다.
• 동차 딜레르흐 경계 조건 하에서 해는 정확한 공간 정규성을 보이며, 강한 수렴 속도는 $O(\rho_N^{-\tau/2})$ 이다.
• 지수적 적분 가능성 성질이 성립한다: $\text{E}\big[\text{exp}\big( \frac{1}{2}e^{-\beta t}\big\rrVert X(t)\big\rrVert_{\text{H}^{-1}}^2 + c\textstyle\bigint_0^t e^{-\beta s}\big\rrVert X(s)\big\rrVert_{L^4}^4 ds + c\textstyle\bigint_0^t e^{-\beta s}\big\rrVert \nabla X(s)\big\rrVert^2 ds \big)\big] \triangleq C(X_0, T)$ 이며, 어떤 $\beta > 0$, $c > 0$ 에 대해 성립한다.
• 이것은 비유계(부분선형) 잡음 확산을 갖는 스토크래틱 Cahn–Hilliard 방정식에 대해 전역 존재성과 정확한 강한 수렴 속도를 동시에 확립하는 최초의 결과이다.