[論文レビュー] Weyl's law on $RCD^*(K,N)$ metric measure spaces

Hui-Chun Zhang, Xi-Ping Zhu|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 47被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、$RCD^*(K,N)$測度空間におけるDirichlet固有値のWeylの法則を確立し、有界な領域の$N$次元Hausdorff測度に比例して固有値の漸近的分布がスケーリングされることを証明している。結果は、合成的リッチ曲率下界を満たす非滑らかで特異な空間へ古典的スペクトル漸近論を拡張したものであり、局所的測度付きGromov-Hausdorff極限における熱核とスペクトル数関数の収束技術を用いている。

ABSTRACT

In this paper, we will prove the Weyl's law for the asymptotic formula of Dirichlet eigenvalues on metric measure spaces with generalized Ricci curvature bounded from below.

研究の動機と目的

• 滑らかなリーマン多様体に対して成立する古典的Weylの法則を、合成的下界リッチ曲率を持つ非滑らか測度空間へ拡張すること。
• 基準測度と$N$次元Hausdorff測度が互いに絶対連続であるという条件下で、$RCD^*(K,N)$空間におけるDirichlet固有値の漸近的分布を確立すること。
• 固有値数関数$N_{ m ext{\Omega}}(\lambda)$が、領域の$N$次元Hausdorff測度を含む古典的Weyl漸近公式を満たすことを証明すること。
• 重み付きリーマン多様体やアレクサンドロフ空間に関する以前の結果を、$RCD^*(K,N)$空間の全クラスへ一般化すること。

提案手法

• Sobolev空間とDirichlet形式が正しく定義されるように、$RCD^*(K,N)$条件を合成的下界リッチ曲率として用いる。
• 点付き測度付きGromov-Hausdorff (pmGH) 収束を用いて、$RCD^*(K,N)$空間の列とそのスペクトル的性質を分析する。
• 一様推定と測度の弱収束を用いて、pmGH収束する空間上での局所的Dirichlet熱核の収束を確立する。
• pmGH収束に適応されたFatouの補題と優越収束定理を用いて、関数とその積分の$L^1$ノルムにおける極限の取り扱いを行う。
• スペクトルコンact性、固有値の交互配置、および熱トレース積分の収束を組み合わせることで、Weyl漸近公式を導出する。
• 全測度が有限のとき、$RCD^*(K,N)$と$RCD(K,N)$が同値であることを利用し、既知のスペクトル結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合成的下界リッチ曲率を持つ非滑らか測度空間におけるDirichlet固有値のWeylの法則は成立するか？
• RQ2 測度と$N$次元Hausdorff測度が互いに絶対連続であるとき、$RCD^*(K,N)$空間において古典的Weyl漸近公式が回復可能か？
• RQ3 有界領域における$RCD^*(K,N)$空間上のラプラシアンの固有値は、固有値が無限大に近づく際、どのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 Weyl漸近公式は基準測度$\mu$に依存せず、領域の$N$次元Hausdorff測度のみに依存するか？
• RQ5 $RCD^*(K,N)$空間におけるスペクトル数関数は、古典的Weyl公式を用いて領域の体積と漸近的に関係づけられるか？

主な発見

• Weyl漸近公式は$RCD^*(K,N)$空間において成立する：$\lim_{\lambda\to\infty}\frac{N_{\Omega}(\lambda)}{\lambda^{N/2}} = \frac{\omega_N \cdot \mathscr{H}^N(\Omega)}{(2\pi)^N}$、ここで$N_{\Omega}(\lambda)$は$\lambda$以下のDirichlet固有値の数を数える。
• 漸近的公式は基準測度$\mu$に依存せず、$\mu \ll \mathscr{H}^N \ll \mu$の条件下で$N$次元Hausdorff測度$\mathscr{H}^N(\Omega)$のみに依存する。
• この結果は、下界曲率を持つ$n$次元アレクサンドロフ空間のような特異空間へ、古典的Weylの法則を一般化する。
• リッチ曲率が下界で有界なリーマン多様体の非収縮Gromov-Hausdorff極限において、Weyl法則は極限空間でも成立する。
• 証明は、pmGH収束下での熱核とスペクトル数関数の収束に依存しており、Fatouの補題と優越収束定理が収束フレームワークに適応された主要な道具である。
• 漸近的公式における次元$N$は整数でなければならない。また、領域の直径が全空間の直径をある$s>1$で割ったものより厳密に小さいという条件下で、結果は成立する。