[論文レビュー] When epsilon-expansion of hypergeometric functions is expressible in terms of multiple polylogarithms: the two-variables examples

V. V. Bytev, M.Yu. Kalmykov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、微分方程式および因数分解／線形パrametrization条件を用いて、2変数ホーン型超幾何関数の高次の $\varepsilon$-展開係数を多重多ログラスに表現するための体系的なアルゴリズムを提示する。主な結果は、このような表現が可能となるのは、特異的領域全体にわたって因数分解条件と線形パラメータ化条件の両方が同時に満たされている場合に限ることである。

ABSTRACT

In this talk, we discuss the algorithm for the construction of analytical coefficients of higher order epsilon expansion of some Horn type hypergeometric functions of two variables around rational values of parameters.

研究の動機と目的

• 2変数ホーン型超幾何関数の有理パラメータ周りにおける高次の $\varepsilon$-展開係数を計算する体系的な手法の開発。
• これらの係数が多重多ログラスに表現可能となるために必要な十分条件の特定。
• 1変数 $\varepsilon$-展開フレームワークを係数関数の微分方程式を用いて2変数の場合に拡張すること。
• 有限部と高次の $\varepsilon$-展開項との間の、多重多ログラスによる表現可能性という観点での明確な違いの解明。
• 1ループファインマン図計算およびメリン・バーンズ積分における既知の結果との整合性の検証。

提案手法

• パrameter $\vec{A}$ を $\vec{A}_0$ で微分することにより、超幾何関数の定義方程式の偏微分方程式（PDE）を微分し、$\varepsilon$-展開の係数 $h_j(\vec{z})$ のための線形偏微分方程式系を導出する。
• 得られた非同次PDE系は、有理関数 $R_k(t)$ を用いて定義される一般化された反復積分を用いて、多重多ログラスによる可解性について分析する。
• 解空間が反復積分をサポートするよう、微分方程式系の構造の因数分解が要求される。これは多重多ログラス形式をとるための前提条件である。
• 特異的領域 $L$ に線形パラメータ化条件を課す。$\{z_1\}, \{z_2\}, \{U_0\}, \{T_0\}, \{U_0T_0 - U_1T_1\}$ を含む。これにより代数関数が有理関数としてパラメータ化可能となる。
• 比 $\left(L_i/(1-L_i)\right)^{1/q}$ のような、特異的領域要素の比から生じるすべての代数関数が、多重多ログラスによる表現可能性を満たすように、線形パラメータ化条件を満たすことが保証される。
• 本手法は、QCD計算およびメリン・バーンズ積分展開における既知の結果と一致することを示すことにより、妥当性が確認されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2変数ホーン型超幾何関数の高次の $\varepsilon$-展開係数が、いつ多重多ログラスに表現可能となるか。
• RQ2 因数分解条件と線形パラメータ化条件が、$h_j(\vec{z})$ の多重多ログラス形式への表現可能性をどのように共同で決定するか。
• RQ3 有限部（$h_0$）が多重多ログラスに表現可能であっても、$j \geq 1$ の高次の $\varepsilon$-係数が同じ形式に表現可能でないのはなぜか。
• RQ4 特異的領域要素 $L = \{z_1, z_2, U_0, T_0, U_0T_0 - U_1T_1\}$ が、PDE系の多重多ログラスによる可解性を決定する上で果たす役割は何か。
• RQ5 2変数 $\varepsilon$-展開フレームワークは、超幾何表現を用いて、高次のループファインマン図に体系的に拡張可能か。

主な発見

• 2変数超幾何関数の $\varepsilon$-展開の解析的係数 $h_j(\vec{z})$ は、特異的領域 $L$ 全体にわたって因数分解条件と線形パラメータ化条件の両方が満たされている場合に限り、多重多ログラスに表現可能である。
• 有限部（$h_0$）が多重多ログラスに表現可能であっても、$j \geq 1$ の高次の係数 $h_j$ が表現可能でないことがある。これは構造的複雑性における非自明な違いを示している。
• 線形パラメータ化条件は、$\left(L_i/(1-L_i)\right)^{1/q}$ や $\left((L_iL_j)/(L_i+L_j-L_iL_j)\right)^{1/q}$ のような代数関数を含む、特異的領域 $L$ のすべての要素に対して同時に成立している必要がある。これにより表現可能性が保証される。
• 本手法は、QCD計算およびメリン・バーンズ積分展開における既知の結果を正確に再現しており、既存の文献と整合していることが確認された。
• 係数関数 $h_j(\vec{z})$ のPDE系は、元の超幾何PDEをパラメータに関して微分することにより導出され、非同次線形系として得られ、反復積分の観点から解ける。
• 本フレームワークは、[20]の1変数 $\varepsilon$-展開手法を2変数に一般化したものであり、明示的な例により、有理パラメータを持つ $F_3$ 超幾何関数が、上記の条件下で $\varepsilon$-展開を多重多ログラスに持つことが示された。