[論文レビュー] Whittaker functions and related stochastic processes

Neil O’Connell|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 46被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、Whittaker関数、ブラウン運動、確率行列理論、表現論の間に深い接続を確立し、Whittaker関数がWeylチャネル内のブラウン運動の抜ける確率として現れ、特定の確率過程の分配関数としても現れることを示している。主な貢献は、Gelfand-Tsetlin パターンによるWhittaker関数の新しい積分表現と、Pitmanの2M-X定理を一般化する$q$-変種のWhittaker過程の構築である。

ABSTRACT

We review some recent results on connections between Brownian motion, Whittaker functions, random matrices and representation theory.

研究の動機と目的

• Whittaker関数、ブラウン運動、確率行列理論の既知の関係を統一的かつ拡張すること。
• ドリフト付きブラウン運動がWeylチャネルから抜ける確率としてのWhittaker関数の確率的解釈を提供すること。
• Pitmanの2M-X定理を一般化する$q$-変種のWhittaker過程を確立すること。
• Gelfand-Tsetlin パターンを介してHaar測度を押し出すことによって、Duistermaat-Heckman 測度がどのように生じるかを示すこと。
• ブラウン運動と指数型関数の積分に対するMatsumoto-Yor定理の$q$-アナロジーを導出すること。

提案手法

• ユニタリ群の積分とWhittaker関数を、行列式$J_\lambda(x) = \det(e^{\lambda_i x_j}) / h(\lambda)$を介して関係づけるHarish-Chandraの公式を用いる。
• Feynman-Kacの公式を適用し、抜ける確率$\mathbb{P}_x(T = \infty)$を固有値方程式$H\psi = \sum \lambda_i^2 \psi$の解として表現する。
• 座標の差の指数関数を含む核$Q^{(n)}_\theta(x,y)$を持つ積分作用素$\mathcal{Q}^{(n)}_\theta$を用いて、Whittaker関数を再帰的に構成する。
• Gelfand-Tsetlin パターン上の指数関数的重み$\mathcal{F}_\lambda(T)$を用いた明示的な積分公式(7)を導出する。
• $q$-差分方程式を満たし、$q$-エルミート多項式と関連する$q$-変種Whittaker関数$\psi_\lambda(z)$を導入する。
• $q$-Whittaker過程と$\mathbb{Z}^2$上のマルコフ連鎖との間のマルコフ的相互作用関係を確立し、出力/Burke定理の$q$-アナロジーを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Whittaker関数は、Weylチャネル$\Omega$内のブラウン運動の抜ける確率としてどのように生じるか？
• RQ2 Harish-Chandraの公式の確率的解釈は、確率的行列の固有値分布に関して何を意味するか？
• RQ3 Whittaker関数は、Gelfand-Tsetlin パターン上の積分としてどのように表現できるか？
• RQ4 $q$-変種のWhittaker過程とは何か？ そしてPitmanの2M-X定理とどのように関係するか？
• RQ5 $q$-Whittaker過程は、ブラウン運動のMatsumoto-Yor指数型関数をどのように一般化するか？

主な発見

• Whittaker関数$\psi_\lambda(x)$は、Gelfand-Tsetlin パターン上の積分として与えられる：$\psi_\lambda(x) = \int_{GT(x)} e^{\lambda \cdot \text{type}(P)} dP$。
• ドリフト$\lambda$付きブラウン運動の抜ける確率$\mathbb{P}_x(T = \infty)$は、$J_\lambda(x) = h(\lambda)^{-1} e^{\lambda(x)} \mathbb{P}_x(T = \infty)$を満たす。
• $q$-変種Whittaker関数$\psi_\lambda(z)$は、$q$-差分方程式$(1 - q^{z+1})\psi_\lambda(z+1) + \psi_\lambda(z-1) = (q^\lambda + q^{-\lambda})\psi_\lambda(z)$を満たす。
• $q$-Whittakerモデルにおける過程$Z_n$は、$\psi_\nu(z)$の比を含む遷移確率を持つマルコフ連鎖であり、2M-X定理を一般化する。
• $q \to 1$の極限で、$q$-Whittaker過程はMatsumoto-Yorの拡散過程に収束し、ブラウン運動の指数型関数の既知の結果が回復される。
• 条件付き分布$Y_n$が$Z_n = z$であるとき、$\pi_z(y) = \psi_\nu(z)^{-1} \frac{q^{\nu(2y - z)}}{(q)_y (q)_{z-y}}$であり、一般化逆ガウス分布の$q$-変種である。