[論文レビュー] Why we live in 3 Dimensions

Carlos Castro, Alex Granik+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2000

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、カントール的フラクタル時空（$ olimits^{ olimits}$）とスケール相対性に基づく新しい相対性理論を提案し、量子時空の平均次元が$D_{ olimits} = 4 + \phi^3$（$ olimits$は黄金比）として出現することを示している。この値はエル・ナッシェの結果と非常に近い。フェルマーの最終定理と重正規化群（RG）フローを用いて、我々の宇宙が3次元空間＋1次元時間に見えるのは、真空揺らぎと局所的スケーリングの時間的矢印によって駆動される自己組織的・準安定的プロセスによるものであることを説明する。

ABSTRACT

A Cantorian fractal spacetime, a family member of von Neumann's noncommutative geometry is introduced as a geometry underlying a new relativity theory which is similar to the relation between general relativity and Riemannian geometry. Based on this model and the new relativity theory an ensemble distribution of all the dimensions of quantum spacetime is derived with the help of Fermat grand theorem. The calculated average dimension is very close to the value of $4+ϕ^3 $ (where $ϕ$ is the golden mean) obtained by El Naschie on the basis of a different approach. It is shown that within the framework of the new relativity the cosmological constant problem is nonexistent, since the Universe self-organizes and self-tunes according to the renormalization group (RG) flow with respect to a local scaling microscopic arrow of time. This implies that the world emerged as a result of a non-equilibrium process of self-organized critical phenomena launched by vacuum fluctuations in Cantorian fractal spacetime $\cal E^{\infty}$. It is shown that we are living in a metastable vacuum and are moving towards a fixed point ($ D$ = 4+$ϕ^3$) of the RG. After reaching this point, a new phase transition will drive the universe to a quasi-crystal phase of the lower average dimension of $ϕ^3$.

研究の動機と目的

• 我々の観測可能な宇宙で時空が3次元空間＋1次元時間に見える理由を解明すること。
• 非可換幾何学とカントール的フラクタル時空における自己組織的ダイナミクスに基づく新しい相対性理論を構築すること。
• スケール相対性とカントール的$ olimits^{\nolimits}$幾何を統合し、量子時空の平均次元を導出すること。
• 準安定真空におけるRGフローによる自己調整のおかげで、宇宙定数問題が消えることの証明。
• 時空、エネルギー、情報の出現が、再帰的・自己起因的プロセスの相互依存的結果として生じることの説明。

提案手法

• 無限の情報を持つハイパープアントから幾何学が自己参照的・再帰的に生成されるという、新しい相対性フレームワークを採用する。
• カントール的$ olimits^{ olimits}$時空における解像度依存の物理法則と局所的スケーリングの時間的矢印をモデル化するためにスケール相対性を適用する。
• フェルマーの最終定理を用いて、可能な時空次元の集合を制約し、平均次元を導出する。
• 重正規化群（RG）フローを用いて、宇宙が$D_{ olimits} = 4 + \phi^3$の固定点へ自己調整するプロセスを記述する。
• 組合せ的・代数的構造（ホップ代数やファインマン図など）を用いて、マトリョシカ型の階層的時空世界の展開をモデル化する。
• 共形場理論における中心電荷定理と次元変化を結びつけ、逆方向のスケーリングフロー下で単調な結晶化過程が生じると示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ我々の観測可能な宇宙は3つの空間次元と1つの時間次元に見えるのか？
• RQ2 フラクタル時空における自己組織的・非平衡的プロセスから、量子時空の平均次元を導出できるか？
• RQ3 カントール的$ olimits^{ olimits}$時空における重正規化群フローが、宇宙定数問題の不在をどのように説明するか？
• RQ4 真空揺らぎと情報は、時空とエネルギーの出現において果たす役割は何か？
• RQ5 黄金比$\phi$およびその累乗は、観測された時空の平均次元を説明できるか？

主な発見

• 量子時空の平均次元は$D_{ olimits} = 4 + \phi^3$として導出され、ここで$\phi = (\sqrt{5} - 1)/2$であり、エル・ナッシェの結果と異なる手法で一致する。
• 宇宙は$D_{ olimits} = 4 + \phi^3$の固定点へRGフローによって自己組織化しており、これは準安定真空状態を示唆する。
• 宇宙定数問題は、微調整を避けるために宇宙がRGフローによって動的に自己調整するため、存在しない。
• 局所的スケーリングの時間的矢印は真空揺らぎから生じ、高エネルギー・高解像度の観測では逆転し、より高次元の展開が生じる。
• 時空の出現プロセスは、ホップ代数や量子群構造によって代数的に符号化された階層的・自己再帰的マトリョシカドール構造に類似している。
• スケーリングの時間的矢印の逆転は、$\phi^3$の低い平均次元を持つ準結晶相をもたらし、将来的な相転移を示唆する。