[論文レビュー] Wieferich Primes and a mod $p$ Leopoldt Conjecture

Gebhard Boeckle, David-A. Guiraud+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、古典的Leopoldt予想のmod $p$版を提案し、ほとんどすべての素数 $p$ に対して $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$ が成り立つかどうかを問う。これは、整合的系から生じるmod $p$ガロア表現の変形理論が遮られないと示唆する。著者らはWieferich素数との類似性を示し、$mathbb{Q}$、虚二次体、および特定のモジュラー形式について、この予想を支持する計算的証拠を提供する。

ABSTRACT

We consider questions in Galois cohomology which arise by considering mod $p$ Galois representations arising from automorphic forms. We consider a Galois cohomological analog for the standard heuristics about the distribution of Wieferich primes, i.e. prime $p$ such that $2^{p-1}$ is 1 mod $p^2$. Our analog relates to asking if in a compatible system of Galois representations, for almost all primes $p$, the residual mod $p$ representation arising from it has unobstructed deformation theory. This analog leads in particular to formulating a mod $p$ analog for almost all primes $p$ of the classical Leopoldt conjecture, which has been considered previously by G. Gras. Leopoldt conjectured that for a number field $F$, and a prime $p$, the $p$-adic regulator $R_{F,p}$ is non-zero. The mod $p$ analog is that for a fixed number field $F$, for almost all primes $p$, the $p$-adic regulator $R_{F,p}$ is a unit at $p$.

研究の動機と目的

• 古典的Leopoldt予想のmod $p$版を定式化し、ほとんどすべての素数 $p$ に対して $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$ が成り立つと予測すること。
• この予想とWieferich素数の分布との関係を、ガロアコホノロジーをフレームワークとして探求すること。
• 特にモジュラー形式およびArtin表現の文脈において、整合的系から生じるmod $p$ガロア表現の変形理論がほとんどすべての $p$ に対して遮られないと予想されるかを調査すること。
• 特に重さ2のモジュラー形式および $S_3$-表現を含む特定のケースについて、この予想を支持する計算的証拠を提供すること。
• 特に $p$-進モジュラー形式の持ち上げに関する、レベル上昇とセレマー群の次元に関する、洗練されたヒューリスティクスを精緻化すること。

提案手法

• ガロアコホノロジーを用いて、mod $p$ガロア表現の変形の障害を分析し、$H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ をグローバル障害の尺度として焦点化する。
• モジュラー形式から生じる整合的系のガロア表現に対して、変形理論および次元予想（Mazur）を適用する。
• 計算的手法を用いて、$p=3,5,7,11$ の場合について、$S_2(\Gamma_0(Nq))$ の $q$-新部分空間およびそのセレマー群（$q \neq p$）を研究する。
• 素数 $q \neq p$ におけるレベル上昇現象を、$q \mod p$ および $\overline{\rho}(\operatorname{Frob}_q)$ におけるフロベニウス作用の違いに基づいて場合分けして分析する。
• グローバルオイラー・ポincare特性公式を用いて、コホモロジーの消滅と、$p$ を除き不分岐な最大アーベルなプロ-$p$拡大のガロア群のランクとの関係を結ぶ。
• 類体論およびモジュラー形式の結果を応用し、$q$-新部分空間の次元を計算し、洗練されたヒューリスティクス（例：Ramakrishnaによる $\dim S_2^{q\textrm{-new}}$ の予測）からの予測密度と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ほとんどすべての素数 $p$ に対して $H^2(G_{F,S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$ が成り立つか、これはLeopoldt予想のmod $p$版となるか？
• RQ2 Wieferich素数の分布は、整合的系におけるmod $p$ガロア表現の遮られなさの変形理論とどのように関係するか？
• RQ3 $p$ とは異なる素数 $q$ に対して、$S_2(\Gamma_0(Nq))$ の $q$-新部分空間の期待次元は何か？ これは理論的予測と一致するか？
• RQ4 $q \neq p$ におけるレベル上昇が、1次元の $q$-新セレマー群をもたらすのはどのような場合か？ その頻度はどの程度か？
• RQ5 Ramakrishnaらの洗練されたヒューリスティクスは、$i \geq 1$ に対して $\dim S_2^{q\textrm{-new}} = i$ となる頻度を予測できるか？

主な発見

• $F = \mathbb{Q}$ の場合、すべての $p > 2$ に対して $H^2(G_{\mathbb{Q},S_p \cup S_\infty}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = 0$ であり、$p=2$ のときも $\dim H^1 = 1$ であるため、mod $p$ Leopoldt予想が成立することが支持される。
• 虚二次体では、無限位の単数が存在しないため、古典的Leopoldt予想の障害要因が存在せず、この予想が成立する。
• $p=3$ の計算データにおいて、$\dim S_2^{q\textrm{-new}}$ の分布はRamakrishnaの予測密度とよく一致している：次元1は0.66、次元2は0.22、それ以上の次元では減少する。
• $p=3$ の場合、56個の素数 $q$ がケースiii（$\dim S_2^{q\textrm{-new}} \geq 4$）に属し、下限の4が最も頻繁に達成されており、高次元の $q$-新部分空間の非自明な分布を示している。
• ケースiv（$\dim S_2^{q\textrm{-new}} \geq 4$ かつ $q \equiv -1 \pmod{p}$）は非常にまれであった：$p=11$ の範囲ではそのような $q$ は検出されず、最小の候補は $q = 109297$ であった。これは強い抑制を示唆している。
• $S_3$-表現では、$q \equiv -1 \pmod{p}$ かつフロベニウスの局所的条件を満たす場合、$q$-新セレマー群は1次元である。ヒューリスティクスによれば、この現象は密度 $1/p$ で発生すると予想され、データとも整合的である。