[논문 리뷰] Witten deformation for Hamiltonian loop group spaces, I

Yiannis Loizides, Yanli Song|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 31.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $K\ltimes\Gamma$-작용을 갖는 비콤팩트 다양체 위에서 스피너-c 디랙 연산자에 대한 프레드홀름 성질을 확립한다. 여기서 $K$는 컴팩트이고 $\Gamma$는 이산이다. 이를 해밀토니안 루프 군 공간에 적용하여, 인덱스 페어링 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ 가 최대 토루스 $T$의 표현 군의 형식적 완비화인 $R^{-\infty}(T)$ 안에 있으며, 애니지드 Weyl 군 작용 하에서 반대칭성을 띤다는 것을 보이고, 이는 루프 군의 프로젝티브 양의 에너지 표현의 링 원소로 식별됨을 보여준다.

ABSTRACT

We prove a Fredholm property for spin-c Dirac operators $\mathsf{D}$ on non-compact manifolds satisfying a certain condition with respect to the action of a semi-direct product group $K\ltimes \Gamma$, with $K$ compact and $\Gamma$ discrete. We apply this result to an example coming from the theory of Hamiltonian loop group spaces. In this context we prove that a certain index pairing $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ yields an element of the formal completion $R^{-\infty}(T)$ of the representation ring of a maximal torus $T \subset G$; the resulting element has an additional antisymmetry property under the action of the affine Weyl group, indicating $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ corresponds to an element of the ring of projective positive energy representations of the loop group.

연구 동기 및 목표

• 특정 군 작용 하에서 비콤팩트 다각체 위의 스피너-c 디랙 연산자에 대한 프레드홀름 성질을 확립하는 것.
• 해밀토니안 루프 군 공간의 맥락에서 인덱스 페어링 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ 를 분석하는 것.
• 결과로 얻어진 인덱스가 최대 토루스 $T$의 표현 군의 형식적 완비화인 $R^{-\infty}(T)$ 안에 있음을 보이는 것.
• 인덱스가 애니지드 Weyl 군 작용 하에서 반대칭성을 띠는 것을 보이는 것.
• 인덱스 페어링이 루프 군의 프로젝티브 양의 에너지 표현의 링 원소로 식별되는 것.

제안 방법

• 비콤팩트 다각체 위에서 스피너-c 디랙 연산자의 스펙트럼 성질을 분석하기 위해 위튼 변형 기법을 사용한다.
• 컴팩트 $K$와 이산 $\Gamma$에 대해 반직접곱 작용 $K\ltimes\Gamma$ 를 갖는 다각체에 프레드홀름 성질를 적용한다.
• K-이론의 클래스 $[\mathcal{X}]$ 와 디랙 연산자 클래스 $[\mathsf{D}]$ 를 사용하여 인덱스 페어링 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ 를 구성한다.
• 애니지드 Weyl 군 작용 하에서 인덱스의 변환 성질을 분석하여 반대칭성을 드러낸다.
• 무한차원 표현 이론의 맥락에서 표현을 다루기 위해 형식적 완비화 $R^{-\infty}(T)$ 를 활용한다.
• 비콤팩트 공간에서의 등변 K-이론과 인덱스 이론의 기하학적·해석적 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스피너-c 디랙 연산자 $\mathsf{D}$ 가 $K\ltimes\Gamma$-작용을 갖는 비콤팩트 다각체 위에서 어떤 조건에서 프레드홀름 성질을 만족하는가?
• RQ2 해밀토니안 루프 군 공간의 맥락에서 인덱스 페어링 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ 는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 결과로 얻어진 인덱스가 최대 토루스의 표현 군의 형식적 완비화인 $R^{-\infty}(T)$ 안에 얼마나 깊이 포함되어 있는가?
• RQ4 인덱스가 애니지드 Weyl 군 작용 하에서 어떤 대칭 성질을 보이는가?
• RQ5 인덱스 페어링은 루프 군의 프로젝티브 양의 에너지 표현의 링 원소로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 스피너-c 디랙 연산자 $\mathsf{D}$ 는 주어진 조건 하에서 비콤파크트 다각체 위에서 프레드홀름 성질을 만족한다.
• 인덱스 페어링 $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ 가 최대 토루스 $T$의 표현 군의 형식적 완비화인 $R^{-\infty}(T)$ 의 원소임을 보였다.
• 인덱스는 애니지드 Weyl 군 작용 하에서 비자명한 반대칭성을 띤다.
• 이 반대칭성은 인덱스가 루프 군의 프로젝티브 양의 에너지 표현의 링 안에 잘 정의된 원소로 대응됨을 시사한다.
• 이 구성은 비콤팩트 다각체 위에서의 인덱스 이론을 통해 이러한 표현의 기하학적·해석적 실현을 제공한다.
• 결과는 위튼 변형 기법의 적용 범위를 해밀토니안 루프 군 공간과 무한차원 표현 이론으로 확장한다.