[論文レビュー] Wrapped Floer cohomology and Lagrangian correspondences

Yuan Gao|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体におけるラグランジュ対応を用いて、包み込みフクヤカategoriesのファンクター的枠組みを確立し、その対応の幾何的合成が、クイルトド・包み込みフローエ・コホモロジーにおける自然同型として誘導されるファンクターを表すことを証明する。主な貢献は、積多様体上の包み込みフローエ・コホモロジーの2つのバージョンの間の準同型写像を確立し、ファンクターの幾何的合成による表現可能性を可能にすることにある。

ABSTRACT

We study Lagrangian correspondences between Liouville manifolds and construct functors between wrapped Fukaya categories. The study naturally brings up the question on comparing two versions of wrapped Fukaya categories of the product manifold, which we prove quasi-isomorphism on the level of wrapped Floer cohomology. To prove representability of these functors constructed from Lagrangian correspondences, we introduce the geometric compositions of Lagrangian correspondences under wrapping, as new classes of objects in the wrapped Fukaya category, which we prove to represent the functors by establishing a canonical isomorphism of quilted version of wrapped Floer cohomology under geometric composition.

研究の動機と目的

• リーマン多様体間のシンプレクティック同相写像を超えて、ラグランジュ対応をモルフィズムとして用いることで、シンプレクティック位相におけるファンクター的性質を拡張すること。
• 包み込みフクヤカategoriesの文脈において、ラグランジュ対応によって誘導されるファンクターの表現可能性の欠如を解消すること。
• クイルトド・包み込みフローエ・コホモロジーと幾何的合成の間の自然同型を確立し、このようなファンクターの表現可能性を証明すること。
• 包み込みフクヤカategories間のファンクターの定義における基礎的問題を解消するために、積多様体上の包み込みフローエ・コホモロジーの2つのバージョンを比較すること。
• 非コンパクトかつ包み込みの設定に一般化されたヴェルハイム＝ウッズワードのクイルトド・フローエ理論を、幾何的合成において一貫性を保つように拡張すること。

提案手法

• ヴェルハイムとウッズワードのクイルトド・フローエ・コホモロジー枠組みを、リーマン多様体における包み込み設定に適応し、クイルトド・サーフェス上の非均一擬全純写像を用いる。
• 擬全純写像をパッチ間で貼り合わせることで構成される、ラグランジュ対応の幾何的合成を、包み込みフクヤカカテゴリの新たなオブジェクトとして定義する。
• 幾何的合成の包み込みフローエ・コホモロジーと誘導されたファンクターの射空間の間の自然同型を確立し、表現可能性を証明する。
• 穴あきリーマン面における非均一擬全純写像の方向付け理論を用い、方向線 $ o_{ heta}^{-} $, $ o_{( heta^0, heta^1)}^{-1} $, および $ o_e $ を含む方向線バンドルの明示的計算を行う。
• 境界成分にマークされた点とストリップ型の端を持つ部分にわたる線形化されたコーシー＝リーマン作用素の貼り合わせ公式を適用し、クイルトド写像のモジュライ空間を関連付ける。
• スプリット・ハミルトニアンと適応可能なハミルトニアンの間のホモトピーを構成することで、積多様体上の包み込みフローエ・コホモロジーの2つのバージョンの準同型写像を証明し、ハミルトニアンの変形に対して不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体間のラグランジュ対応は、それらの包み込みフクヤカカテゴリ間でwell-definedな $ A_∞ $-ファンクターを誘導するか？
• RQ2 ラグランジュ対応によって誘導されるファンクターは、包み込みフクヤカカテゴリ内での幾何的合成によって表現可能か？
• RQ3 積多様体上での包み込みフローエ・コホモロジーの2つのバージョン（スプリット・ハミルトニアンおよび適応可能なハミルトニアンを用いたもの）は、どのように関係しているか？
• RQ4 クイルトド・フローエ・コホモロジーは、ラグランジュ対応に関連するファンクターの合成をどのように符号化するか？
• RQ5 非均一擬全純写像のモジュライ空間における方向データは、どのように一貫的に定義され、クイルトド・サーフェス全体にわたって貼り合わせられるか？

主な発見

• ラグランジュ対応の幾何的合成は、クイルトド・包み込みフローエ・コホモロジーの自然同型を通じて、対応によって誘導される包み込みフクヤカカテゴリ内のファンクターを表す。
• スプリット・ハミルトニアンと適応可能なハミルトニアンを用いた積多様体上の包み込みフローエ・コホモロジーの2つのバージョンの間の準同型写像が確立され、ハミルトニアンの変形に対して不変性が保証される。
• 非均一擬全純写像のクイルトド・写像のモジュライ空間には、自然な方向付けが存在し、方向線バンドルのテンソル積 $ \bigwedge^{\text{top}} T\tilde{\nabla} \to o_{(\theta^0,\theta^1)}^{-1} \bigotimes o_e \bigotimes o_\theta $ によって与えられる。
• モジュライ空間の方向付けは、ストリップおよびチャードの成分モジュライ空間の方向付けと一貫しており、コーシー＝リーマン作用素の貼り合わせ公式により検証される。
• スピン構造および正則バンドルの自明化の選択に依存しない、ラグランジュ対応によるファンクターの構成は、well-definedである。
• ファンクターの表現可能性は、まさに幾何的合成によって達成され、これが包み込みフクヤカカテゴリにおける射空間を実現する普遍的オブジェクトとして機能する。