[논문 리뷰] Yangians and cohomology rings of Laumon spaces

Boris Feigin, Michael Finkelberg외 2명|arXiv (Cornell University)|2008. 12. 26.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 자연스러운 대응을 통해 애매한 라우모 공간의 호모로지에 대한 애매한 양단의 작용을 구성하고, 고정점 기저를 애매한 겔판트-츠레틴 기저로 식별하며, $\mathfrak{gl}_n$의 양단의 중심의 상으로서 기하학적 모듈리 공간의 호모로지 링이 이 호모로지에 임베딩됨을 보여준다. 기하학적 모듈리 공간의 행렬식 선다발의 첫 번째 체르니코프 클래스는 애매한 양단에서 비가환 멱급수로 실현되며, 이는 대수기하학에서 표현론적 구조의 기하학적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

Laumon moduli spaces are certain smooth closures of the moduli spaces of maps from the projective line to the flag variety of $GL_n$. We construct the action of the Yangian of $sl_n$ in the cohomology of Laumon spaces by certain natural correspondences. We construct the action of the affine Yangian (two-parametric deformation of the universal enveloping algebra of the universal central extension of $sl_n[s^{\pm1},t]$) in the cohomology of the affine version of Laumon spaces. We compute the matrix coefficients of the generators of the affine Yangian in the fixed point basis of cohomology. This basis is an affine analogue of the Gelfand-Tsetlin basis. The affine analogue of the Gelfand-Tsetlin algebra surjects onto the equivariant cohomology rings of the affine Laumon spaces. The cohomology ring of the moduli space $M_{n,d}$ of torsion free sheaves on the plane, of rank $n$ and second Chern class $d$, trivialized at infinity, is naturally embedded into the cohomology ring of certain affine Laumon space. It is the image of the center $Z$ of the Yangian of $gl_n$ naturally embedded into the affine Yangian. In particular, the first Chern class of the determinant line bundle on $M_{n,d}$ is the image of a noncommutative power sum in $Z$.

연구 동기 및 목표

• 자연스러운 대응을 통해 애매한 라우모 공간 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$의 국소화 등변 호모로지에 대한 애매한 양단 작용을 구성한다.
• 애매한 겔판트-츠레틴 기저를 애매한 라우모 공간의 고정점 호모로지에서 정의하고 연구한다.
• 기하학적 모듈리 공간 $\mathfrak{M}_{n,d}$의 호모로지 링을 $\mathfrak{gl}_n$의 양단 중심의 자연스러운 임베딩을 통해 애매한 양단에 대한 상으로서 실현한다.
• 고정점 기저에서 애매한 양단 생성자의 행렬 계수를 계산하여 비가환 멱급수와의 직접적 연관을 명시적으로 밝힌다.

제안 방법

• 쿼버 다양체에서 사용된 것과 유사한 자연스러운 대응을 통해 애매한 라우모 공간 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$의 국소화 등변 호모로지에 대한 애매한 양단 $\widehat{Y}$의 작용을 구성한다.
• 애매한 라우모 공간의 고정점 호모로지의 기저를 애매한 겔판트-츠레틴 기저로 식별하며, 이는 $U(\mathfrak{gl}_n)$의 고전적 겔판트-츠레틴 기저를 일반화한다.
• 고정점 기저에서 $\widehat{Y}$의 드린펠트 생성자의 행렬 계수를 계산하여 등변 매개변수와 차수에 대한 유리함수로 표현한다.
• $\widehat{Y}$의 애매한 겔판트-츠레틴 대수가 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$의 등변 호모로지 링에 전사함을 증명하여, 이 교환 부분대수의 기하학적 실현을 확립한다.
• 토루스 등변 사상에 의해 기하학적 모듈리 공간 $\mathfrak{M}_{n,d}$의 호모로지 링을 $\mathcal{P}_{d,\ldots,d}$의 호모로지에 임베딩하고, 이 임베딩이 $Y(\mathfrak{gl}_n)$의 중심에서 유래됨을 보인다.
• $\mathfrak{M}_{n,d}$에서의 행렬식 선다발의 첫 번째 체르니코프 클래스를 애매한 양단에서의 비가환 멱급수로 실현하며, 고정점에서의 고유값을 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자연스러운 대응을 통해 애매한 양단이 애매한 라우모 공간 호모로지에 어떻게 작용할 수 있는가?
• RQ2 애매한 라우모 공간 호모로지의 고정점 기저의 구조는 무엇이며, 고전적 겔판트-츠레틴 기저를 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 기하학적 모듈리 공간 $\mathfrak{M}_{n,d}$의 호모로지 링은 애매한 라우모 공간 호모로지 내에서 어떻게 실현되는가?
• RQ4 $\mathfrak{gl}_n$의 양단 중심은 모듈리 공간의 호모로지 클래스로서 기하학적으로 어떻게 의미를 갖는가?
• RQ5 애매한 양단의 비가환 멱급수는 첫 번째 체르니코프 클래스와 같은 특성 클래스와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 애매한 양단 $\widehat{Y}$는 자연스러운 대응을 통해 애매한 라우모 공간 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$의 국소화 등변 호모로지에 작용하며, 이는 이전의 쿼버 다양체에 대한 작용을 일반화한다.
• 애매한 라우모 공간 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$의 호모로지 고정점 기저는 애매한 겔판트-츠레틴 기저로 식별되며, 드린펠트 생성자의 행렬 계수는 등변 매개변수에 대한 유리함수로 명시적으로 계산된다.
• 애매한 겔판트-츠레틴 대수는 $\mathcal{P}_{\underline{d}}$의 등변 호모로지 링에 전사하며, 이 교환 부분대수의 기하학적 실현을 제공한다.
• 기하학적 모듈리 공간 $\mathfrak{M}_{n,d}$의 호모로지 링은 $\mathcal{P}_{d,\ldots,d}$의 호모로지에 중심 $ZY(\mathfrak{gl}_n)$의 상으로서 임베딩된다.
• 기하학적 모듈리 공간 $\mathfrak{M}_{n,d}$에서의 행렬식 선다발의 첫 번째 체르니코프 클래스는 애매한 양단에서 비가환 멱급수로 실현되며, 고정점에서의 고유값은 $\Phi_{n,r}$과 등변 매개변수를 포함하는 유리식으로 주어진다.
• 첫 번째 체르니코프 클래스 연산자의 고유값은 $\frac{-2\Phi_{n,3}+3(\hbar-\hbar')\Phi_{n,2}-2\sum_{j=1}^{n}(x_j+\hbar')^3-3(\hbar-\hbar')\sum_{j=1}^{n}(x_j+\hbar')^2}{12\hbar\hbar'}+\sum_{j=1}^{n}x_j$로 명시적으로 계산되며, 이는 비가환 멱급수의 기하학적 기원을 확인한다.