[論文レビュー] $\Z_3$-orbifold construction of the Moonshine vertex operator algebra and some maximal $3$-local subgroups of the Monster

Hsian-Yang Chen, Ching Hung Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リーク格子VOAと3階の固定点自由自己同型の上げを用いた $ζ_3$-軌道構成により、ムーンシャイン頂点作用素代数（VOA）を構成する。特殊な部分VOA—$V_{\Lambda}^\tau$ および $(V_{K_{12}}^\tau)^{\otimes 2}$—の安定化部分群を分析することで、モンスターグループの2つの最大の $3$-局所部分群：$3^{1+12}.2.\mathrm{Suz}:2$ および $3^8.\Omega^{-}(8,3).2$ を同定し、結果として得られたVOAの自己同型群がモンスターグループに同型であることを証明する。これにより、ムーンシャインVOAに同型であることが確認される。

ABSTRACT

In this article, we describe some maximal $3$-local subgroups of the Monster simple group using vertex operator algebras (VOA). We first study the holomorphic vertex operator algebra obtained by applying the orbifold construction to the Leech lattice vertex operator algebra and a lift of a fixed-point free isometry of order $3$ of the Leech lattice. We also consider some of its special subVOAs and study their stabilizer subgroups using the symmetries of the subVOAs. It turns out that these stabilizer subgroups are $3$-local subgroups of its full automorphism group. As one of our main results, we show that its full automorphism group is isomorphic to the Monster simple group by using a $3$-local characterization and that the holomorphic VOA is isomorphic to the Moonshine VOA. This approach allows us to obtain relatively explicit descriptions of two maximal $3$-local subgroups of the shape $3^{1+12}.2.\Suz{:}2$ and $3^8.Ω^-(8,3).2$ in the Monster simple group.

研究の動機と目的

• $Χ_3$-軌道法を用いて、リーク格子VOAからムーンシャイン頂点作用素代数（VOA）を新たな方法で構成すること。
• ムーンシャインVOA内の部分VOAの対称性を用いて、モンスターグループの明示的な最大 $3$-局所部分群を記述すること。
• 自己同型群がモンスターグループに同型であることを証明することで、構成されたVOAとムーンシャインVOAとの同型を確立すること。
• $\operatorname{Aut}V^\sharp$ の $3$-局所特徴付けを用いて、モンスターグループの $3$-局所特徴付けを検証すること。

提案手法

• 固定点をもたない3階の自己同型の上げを用い、リーク格子VOAに $Χ_3$-軌道構成を適用することで、正則なVOA $V^\sharp$ を得る。
• $V^\sharp$ が $V_{\Lambda}^{\tau}$ および $(V_{K_{12}}^{\tau})^{\otimes 2}$ の $Χ_3$-次数単純コイル拡張として同定され、ここで $K_{12}$ はコクセター＝トッド格子である。
• 単純コイル拡張における融合則と上げ理論を用いて、部分VOAの自己同型群を決定し、$3^{12}.2\mathrm{Suz}:2$ および $(\Omega^{-}_{8}(3):2)\wr\mathbb{Z}_2$ を得る。
• $V^\sharp$ の自己同型群内での、$V_{\Lambda}^{\tau}$ および $(V_{K_{12}}^{\tau})^{\otimes 2}$ を安定化する位数 $3$ および $3^8$ の初等アーベル $3$-部分群の正規化群を計算する。
• $3$-局所特徴付け定理を適用し、$\operatorname{Aut}V^\sharp \cong \mathbb{M}$ であることを結論づける。
• 不変な双線形形式の一意性と $\mathbb{M}$-加群の同型を用いて、$V^\sharp \cong V^\natural$ がVOAとして成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ムーンシャインVOAは、リーク格子VOAから $\mathbb{Z}_3$-軌道構成を用いて構成可能か？
• RQ2 ムーンシャインVOA内の部分VOAの安定化子として実現可能な、モンスターグループの最大 $3$-局所部分群は何か？
• RQ3 $\mathbb{Z}_3$-軌道化されたVOA $V^\sharp$ の自己同型群は、モンスターグループと一致するか？
• RQ4 表現論的および群論的手段を用いて、$V^\sharp$ とムーンシャインVOAとの同型を確立できるか？

主な発見

• $\mathbb{Z}_3$-軌道化によりリーク格子VOAから構成された正則VOA $V^\sharp$ は、ムーンシャインVOA $V^\natural$ に同型である。
• $V^\sharp$ の完全な自己同型群はモンスターグループ $\mathbb{M}$ に同型であり、$3$-局所特徴付けにより確認された。
• モンスターグループの2つの最大 $3$-局所部分群が明示的に実現されている：$3^{1+12}.2.\mathrm{Suz}:2$ および $3^8.\Omega^{-}(8,3).2$。
• これらの部分群は、$\operatorname{Aut}V^\sharp$ 内で部分VOA $V_{\Lambda}^{\tau}$ および $(V_{K_{12}}^{\tau})^{\otimes 2}$ を安定化する初等アーベル $3$-部分群の正規化群として得られる。
• $\operatorname{Aut}V^\sharp$ 内での $V_{\Lambda}^{\tau}$ の安定化群の形は $3^{1+12}.2.\mathrm{Suz}:2$ であり、$(V_{K_{12}}^{\tau})^{\otimes 2}$ の安定化群の形は $3^8.\Omega^{-}(8,3).2$ である。
• $V_{\Lambda}^{\tau}$ 内に $\mathbb{Z}_3$-不変なイジングベクトルが存在することは、$3$-局所特徴付けの必要条件 (e) を満たしており、$V^\natural$ への同型を支持する。