[論文レビュー] Z-tensors and complementarity problems

M. Seetharama Gowda, Ziyan Luo+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 17被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、非正の非対角成分をもつZ-テンソルを用いて、次数論的手法を用いてテンソル補完問題を調査する。グローバル可解性の同値条件を確立し、特に特定の構造的制約を満たす強M-テンソルに対して、一意可解性の十分条件を提示する。

ABSTRACT

Tensors are multidimensional analogs of matrices. In this paper, based on degree-theoretic ideas, we study homogeneous nonlinear complementarity problems induced by tensors. By specializing this to $Z$-tensors (which are tensors with non-positive off-diagonal entries), we describe various equivalent conditions for a $Z$-tensor to have the global solvability property. We show by an example that the global solvability need not imply unique solvability and provide a sufficient and easily checkable condition for unique solvability.

研究の動機と目的

• 位相的次数論を用いて、Z-テンソルのテンソル補完問題におけるグローバル可解性の性質を特徴づけること。
• 任意の右辺ベクトル q に対して解が保証されるような同値条件を同定すること。
• 特に強M-テンソルに対して、テンソル補完問題の一意可解性の十分条件を確立すること。
• 写像 F(x) = Ax^{m-1} の上への性質と、補完問題に与える影響を調査すること。
• Z-テンソルの文脈におけるP-テンソルおよびグローバル一意可解性（GUS）の性質の理解を精緻化すること。

提案手法

• テンソルによって誘導される同次非線形補完問題の可解性を解析するために、次数論的手法を適用する。
• Z-テンソルの研究とその固有値的性質を考察するため、A = rI - B（Bは非負のテンソル）という表現を用いる。
• 強M-テンソル（r > ρ(B)，ここで ρ(B) はBのスペクトル半径）を、主要な構造的クラスとして採用する。
• 正の対角行列 D を用いた対角スケーリング変換により、テンソル A を厳密な対角優勢 Z-テンソル Ā に変換する。
• 成分ごとの不等式に基づく背理法を用いて、構造的制約下での解の一意性を証明する。
• 次数論的条件下で、Q-性質、グローバル可解性、および写像 F(x) = Ax^{m-1} の上への性質の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Z-テンソルがQ-性質（任意の q ∈ R^n に対して TCP(A, q) が可解）を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 Z-テンソルのどのような構造的性質が、テンソル補完問題の一意可解性を保証するか？
• RQ3 次数論的アプローチは、テンソル補完問題の可解性をどのように特徴づけるのを助けるか？
• RQ4 強M-テンソル構造とテンソル補完問題におけるグローバル一意可解性（GUS）性質の関係は何か？
• RQ5 テンソル A の要素に特定の制約を課した場合、解の一意性を保証できるか？

主な発見

• ある種の次数論的条件下で、Z-テンソルがQ-性質を有するのは、それが強M-テンソルであるときかつそのときに限り、同値である。
• 本稿は、一意可解性のための十分かつ容易に検証可能な条件を提示する：強M-テンソル A が、すべてのインデックスが等しくない場合を除き、m-線形形式において非対角成分がゼロであれば、任意の q に対して TCP(A, q) は一意解をもつ。
• 正の対角行列 D を用いた変換 Ā = A D^{m-1} により、厳密な対角優勢 Z-テンソルが得られ、これが一意性の証明を容易にする。
• 強M-テンソルに対して、写像 F(x) = Ax^{m-1} は上への写像である。これは、任意の q に対して解が存在することを裏付ける。
• GUS-性質（グローバルに一意可解）は、a_{i i2...im} = 0 が、ある j ≠ k に対して i_j ≠ i_k のとき成り立つ条件のもとで確立される。これは、成分の差に関する背理法により、一意性が保証される。
• 証明技法は、2つの異なる解の差に関する成分ごとの不等式に基づく背理に依存し、厳密な対角優勢性とZ-テンソル構造を活用する。