[论文解读] 4d/2d $ ightarrow $ 3d/1d: A song of protected operator algebras

Mykola Dedushenko, Yifan Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 128被引用 7

一句话总结

本文通过在 $S^1$ 上的维度约化，利用 $S^1 \times S^3$ 上 4d 理论的 Cardy 极限，建立了 4d $υ=2$ 超共形场论（SCFT）中算子代数与 3d $υ=4$ SCFT 中 1d 拓扑量子力学（TQM）之间的精确字典。该研究提供了 4d 中 W-代数的 OPE 数据与 3d 中短星积之间显式的映射关系，利用局部化方法进行了验证，并为 $(A_1,D_{2n+1})$ 与 $(A_1,A_{2n-2})$ 类型的 Argyres-Douglas 理论提出了新的 3d 镜像对偶，为现有 chiral 代数提案提供了强有力的自洽性检验。

ABSTRACT

Superconformal field theories (SCFT) are known to possess solvable yet nontrivial sectors in their full operator algebras. Two prime examples are the chiral algebra sector on a two dimensional plane in four dimensional $\mathcal{N}=2$ SCFTs, and the topological quantum mechanics (TQM) sector on a line in three dimensional $\mathcal{N}=4$ SCFTs. Under Weyl transformation, they respectively map to operator algebras on a great torus in $S^1 imes S^3$ and a great circle in $S^3$, and are naturally related by reduction along the $S^1$ factor, which amounts to taking the Cardy (high-temperature) limit of the four dimensional theory on $S^1 imes S^3$. We elaborate on this relation by explicit examples that involve both Lagrangian and non-Lagrangian theories in four dimensions, where the chiral algebra sector is generally described by a certain W-algebra, while the three dimensional descendant SCFT always has a (mirror) Lagrangian description. By taking into account a subtle R-symmetry mixing, we provide explicit dictionaries between selected operator product expansion (OPE) data in the four and three dimensional SCFTs, which we verify in the examples using recent localization results in four and three dimensions. Our methods thus provide nontrivial support for various chiral algebra proposals in the literature. Along the way, we also identify three dimensional mirrors for Argyres-Douglas theories of type $(A_1, D_{2n+1})$ reduced on $S^1$, and find more evidence for earlier proposals in the case of $(A_1, A_{2n-2})$, which both realize certain superconformal boundary conditions for the four dimensional $\mathcal{N}=4$ super-Yang-Mills. This is a companion paper to arXiv:1911.05741.

研究动机与目标

• 通过 $S^1$ 紧化，建立 4d $υ=2$ SCFT 中 chiral 代数（VOA）与 3d $υ=4$ SCFT 中 TQM sector 之间的具体、显式对应关系。
• 利用两个维度中近期的局部化结果，验证 4d 与 3d 之间 OPE 数据映射的正确性。
• 基于此约化机制，为 $(A_1,D_{2n+1})$ 与 $(A_1,A_{2n-2})$ 类型的 Argyres-Douglas 理论提出并检验新的 3d 镜像对偶。
• 为现有将 4d $υ=2$ SCFT 的 VOA 与 W-代数相关联的提案提供自洽性检验，尤其关注涉及 W-代数的情形。
• 阐明 R-对称性混合在约化过程中的作用，特别是在非拉格朗日理论中的表现。

提出的方法

• 在 $S^1$ 上约化 4d $υ=2$ SCFT 得到 3d $υ=4$ SCFT，通过在 $S^1 \times S^3$ 上取 Cardy 极限，将 chiral 代数 sector 映射到 TQM sector。
• 利用矩阵模型技术和傅里叶变换，显式构造 $(A_1,D_{2n+1})$ 与 $(A_1,A_{2n-2})$ Argyres-Douglas 理论的 3d 镜像对偶。
• 利用带 flavor 的 Schur 指数及其在 3d 中的约化，通过局部化结果匹配 4d 与 3d 之间的 OPE 数据。
• 在 3d TQM 中应用短星积形式化方法，描述极小幂零轨道的过滤量子化。
• 通过球面划分函数的傅里叶变换推导镜像映射，识别出在特定参数重定义下 $Z_{\text{SQED}_n}^{\text{mirror}}$ 与 $Z_{\text{SQED}_n}$ 的等价性。
• 验证涉及三角函数与双曲函数的恒等式，以匹配划分函数并确认 3d 镜像映射的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 4d $υ=2$ SCFT 中的 chiral 代数如何映射到通过 $S^1$ 紧化得到的 3d $υ=4$ SCFT 中的 TQM sector？
• RQ2 当存在 R-对称性混合时，4d W-代数中的 OPE 系数与 3d 短星积中的 OPE 系数之间的确切字典是什么？
• RQ3 能否利用此约化机制为 $(A_1,D_{2n+1})$ 与 $(A_1,A_{2n-2})$ 类型的 Argyres-Douglas 理论提出新的 3d 镜像对偶？
• RQ4 4d 与 3d 中的局部化结果如何支持所提出的 OPE 数据与划分函数之间的映射？
• RQ5 R-对称性混合在确保 4d chiral 代数与 3d TQM 结构之间的一致性方面起到什么作用？

主要发现

• 本文提出，$(A_1,D_{2n+1})$ Argyres-Douglas 理论的 3d 镜像对偶为一个线性 quiver，包含 $n-1$ 个 $U(1)$ 规范节点，该结果通过 $S^1$ 约化 4d 理论显式导出。
• 对于 $(A_1,A_{2n-2})$ 理论，其 3d 镜像被识别为包含 $n$ 个 $U(1)$ 节点的 quiver，且通过傅里叶变换匹配球面划分函数，验证了镜像映射的正确性。
• 利用带 flavor 的 Schur 指数，将 4d 中 $SU(3)$ SQCD 的 W-代数 OPE 数据与 3d 短星积匹配，矩阵模型计算中发现明确一致。
• 3d 中 $(A_1,D_{2n+2})$ 理论的镜像划分函数计算为 $Z_{(A_1,D_{2n+2})}^{\text{mirror}} = \frac{1}{4(n+1)} \frac{\sinh(2\pi m / (n+1))}{\cosh(\pi(m-u)/(n+1)) \cosh(\pi(m+u)/(n+1)) \sinh(2\pi m)}$，从而确认了对偶性。
• 通过证明在 $\xi_a = m_a - m_{a-1}, u = \eta$ 的条件下有 $Z_{\text{SQED}_n}(\eta,\{m_a\}) = Z_{\text{SQED}_n}^{\text{mirror}}(\{\xi_a\},u)$，作者验证了 $Z_{\text{SQED}_n}$ 的镜像映射有效性，其中使用了恒等式 $1/\text{ch}(x) = \int dy e^{2\pi i x y}/\text{ch}(y)$。
• 作者推导并验证了关键的三角恒等式 $\prod_{a=1}^n \sin(\pi a / (n+1)) = (n+1)/2^n$，这些恒等式在 $S^1$ 紧化过程中对匹配划分函数至关重要。