[论文解读] A class of globally solvable Markovian quadratic BSDE systems and applications

Hao Xing, Gordan Žitković|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 32被引用 19

一句话总结

本文通过引入一种新颖的李雅普诺夫函数条件与局部有界性假设，建立了具有二次非线性的广义马尔可夫后向随机微分方程（BSDE）系统全局存在性与唯一性的结果。关键贡献在于提出了一套通用的可解性框架，适用于不完全市场中的随机均衡、非零和随机博弈，以及黎曼流形上的鞅，且无需对终端条件施加小量条件。

ABSTRACT

We establish existence and uniqueness for a wide class of Markovian systems of backward stochastic differential equations (BSDE) with quadratic nonlinearities. This class is characterized by an abstract structural assumption on the generator, an a-priori local-boundedness property, and a locally-Hölder-continuous terminal condition. We present easily verifiable sufficient conditions for these assumptions and treat several applications, including stochastic equilibria in incomplete financial markets, stochastic differential games, and martingales on Riemannian manifolds.

研究动机与目标

• 解决多维BSDE在二次生成器下全局存在性与唯一性这一长期悬而未决的开放问题。
• 在不施加终端条件小量假设的前提下，发展一套通用框架以求解马尔可夫二次BSDE系统。
• 通过引入一种新颖的结构性假设——李雅普诺夫函数的存在性——结合局部有界性，建立可解性的充分条件。
• 将该框架应用于数学金融、随机博弈及流形上随机分析中的关键问题。
• 通过去除先前工作中存在的测度变换或对角二次假设，拓展已有结果。

提出的方法

• 通过李雅普诺夫函数的存在性，为生成器引入一种新型结构性条件，确保任意解Y满足h(Y)为严格上鞅。
• 对生成器施加先验局部有界性条件，以控制增长并保证路径正则性。
• 通过变量变换（如Ŷ = Y¹ - Y²）实现系统解耦，将其转化为便于分析的形式。
• 应用定理2.14，在条件(BF)与(wAB)下验证存在性与唯一性，其中(wAB)通过正向张量向量确保有界性。
• 采用局部化论证，并结合终端条件在局部霍尔德空间中的有界性，以控制解过程。
• 通过显式计算二次型与向量张量条件，验证变换后生成器满足所需条件(BF)与(wAB)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不施加终端条件小量假设的前提下，能否为具有二次生成器的马尔可夫BSDE系统建立全局存在性与唯一性？
• RQ2 生成器需满足何种结构性条件，才能确保多维二次情形下的可解性？
• RQ3 李雅普诺夫函数如何用于构造先验估计，并确保解过程的上鞅行为？
• RQ4 此类系统在哪些金融与几何背景下自然出现，且能否实现全局求解？
• RQ5 该框架能否推广至非马尔可夫或超二次情形？是否存在固有局限性？

主要发现

• 当生成器满足李雅普诺夫函数条件与先验局部有界性条件时，系统存在唯一有界连续解。
• 解对终端条件属于局部霍尔德空间的情形依然存在，无需L∞范数中小量要求，克服了以往工作的主要局限。
• 李雅普诺夫函数的存在性确保了解过程在概率意义下有界，从而支持局部化技术的应用。
• 该框架适用于不完全金融市场中的随机均衡，其中均衡条件可简化为二次BSDE系统。
• 在非零和随机博弈中，该方法可导出具有显式值函数的纳什均衡，其值函数表达为解指数形式。
• 变换后系统(5.13)满足条件(BF)与(wAB)，通过定理2.14确认了存在性与唯一性，即使在θ > 1且存在四组张量向量的情形下亦成立。