[论文解读] A Cole-Hopf transformation based fourth-order multiple-relaxation-time lattice Boltzmann model for the coupled Burgers' equations

Ying Chen, Xi Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2023

Lattice Boltzmann Simulation StudiesEngineering被引用 3

一句话总结

该论文通过应用Cole-Hopf变换消除非线性对流项，将d维耦合Burgers方程系统转化为关于辅助变量θ的扩散方程，提出了一种四阶精度的多重松弛时间格子Boltzmann模型。通过改进的Maxwell迭代分析与非平衡分布函数重构，该模型实现了四阶空间精度，并在多个测试案例中通过数值验证了稳定的四阶收敛速率。

ABSTRACT

In this work, a Cole-Hopf transformation based fourth-order multiple-relaxation-time lattice Boltzmann (MRT-LB) model for d-dimensional coupled Burgers' equations is developed. We first adopt the Cole-Hopf transformation where an intermediate variable θis introduced to eliminate the nonlinear convection terms in the Burgers' equations on the velocity u=(u_1,u_2,...,u_d). In this case, a diffusion equation on the variable θcan be obtained, and particularly, the velocity u in the coupled Burgers' equations is determined by the variable θand its gradient term ablaθ. Then we develop a general MRT-LB model with the natural moments for the d-dimensional transformed diffusion equation and present the corresponding macroscopic finite-difference scheme. At the diffusive scaling, the fourth-order modified equation of the developed MRT-LB model is derived through the Maxwell iteration method. With the aid of the free parameters in the MRT-LB model, we find that not only the consistent fourth-order modified equation can be obtained, but also the gradient term $ ablaθ$ can be calculated locally by the non-equilibrium distribution function with a fourth-order accuracy, this indicates that theoretically, the MRT-LB model for $d$-dimensional coupled Burgers' equations can achieve a fourth-order accuracy in space. Finally, some simulations are conducted to test the MRT-LB model, and the numerical results show that the proposed MRT-LB model has a fourth-order convergence rate, which is consistent with our theoretical analysis.

研究动机与目标

• 为d维耦合Burgers方程开发一种高阶、稳定的格子Boltzmann模型，该类方程通常因非线性对流和耦合性而难以处理。
• 克服现有单松弛时间模型及标准MRT-LB模型在这些方程上存在的数值不稳定性和二阶精度限制。
• 利用Cole-Hopf变换将非线性系统转化为线性扩散方程，从而实现解的更高阶精度。
• 在多重松弛时间格子Boltzmann框架下，通过自由松弛参数调节，实现解θ及其梯度∇θ的四阶空间精度。
• 通过不同网格分辨率和维度（d ≥ 1）的数值模拟，验证理论精度。

提出的方法

• 对d维耦合Burgers方程应用Cole-Hopf变换，引入辅助变量θ以解耦非线性对流项，将系统简化为线性扩散方程。
• 基于自然矩，为变换后的扩散方程构建多重松弛时间（MRT-LB）模型，实现对松弛参数的独立控制，从而提升稳定性和精度。
• 从MRT-LB模型在扩散标度下推导宏观有限差分格式，确保与底层PDE的一致性。
• 采用Maxwell迭代法进行四阶修正方程分析，推导主导误差项，并确定实现四阶精度的条件。
• 在特定松弛参数条件下，利用非平衡分布函数重构梯度项∇θ，实现四阶空间精度。
• 在d维情形（d = 1, 2, 3, 4）中实施数值模拟，通过不同网格分辨率验证收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于Cole-Hopf变换为d维耦合Burgers方程构建一个四阶精度的格子Boltzmann模型？
• RQ2 MRT-LB框架是否可通过适当的松弛参数调节，在解θ及其梯度∇θ上均实现四阶空间精度？
• RQ3 所提出的模型是否能在不同空间维度（d ≥ 1）和网格分辨率下保持稳定并实现高阶收敛？
• RQ4 该模型的四阶精度是否在速度场u的所有分量及辅助变量θ中均保持一致？
• RQ5 在MRT-LB框架中，非平衡分布函数如何促进∇θ的四阶重构？

主要发现

• 所提出的MRT-LB模型在d = 1至4维范围内，对辅助变量θ及速度场u的所有分量均实现了稳定的四阶空间收敛速率。
• 数值模拟结果确认了四阶收敛速率，收敛指数在不同变量与网格细化下介于约4.05至4.23之间。
• 在满足特定条件（公式37）时，通过非平衡分布函数可实现∇θ的四阶精度重构。
• 该模型在多维空间中保持了稳定性和高阶精度，证明了MRT-LB方法在处理耦合非线性PDE中的普适性。
• 四阶修正方程分析表明，主导截断误差为O(Δx⁴)量级，验证了该格式的理论精度。
• 收敛速率在广泛网格分辨率范围内（例如Δx = 0.2至Δx = 0.025）保持稳健，相对L2误差按预期与Δx⁴成比例下降。