[论文解读] A connected sum formula for involutive Heegaard Floer homology

Kristen Hendricks, Ciprian Manolescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了同调弗洛尔同调的卷积和公式，证明了三流形连通和的弗洛尔复形上的共轭对合在链同伦等价于各个对合的张量积。关键成果是构造了一个从同调 bordism 群到一个代数定义的带对合的复形阿贝尔群的同态，并首次给出了一个三流形，其对合校正项互不相等：$\underline{d}(Y) \neq d(Y) \neq \bar{d}(Y)$。

ABSTRACT

We prove a connected sum formula for involutive Heegaard Floer homology, and use it to study the involutive correction terms of connected sums. In particular, we give an example of a three-manifold with $\underline{d}(Y) eq d(Y) eq \overline{d}(Y)$. We also construct a homomorphism from the three-dimensional homology cobordism group to an algebraically defined Abelian group, consisting of certain complexes (equipped with a homotopy involution) modulo a notion of local equivalence.

研究动机与目标

• 建立同调弗洛尔同调的卷积和公式，扩展已知的标准弗洛尔同调公式的适用范围。
• 研究对合校正项 $\underline{d}$ 和 $\bar{d}$ 在连通和下的行为。
• 从三维同调 bordism 群 $\Theta^3_{\mathbb{Z}}$ 构造一个到代数定义的带同伦对合的复形阿贝尔群（模局部等价）的同态。
• 提供首个满足 $\underline{d}(Y) \neq d(Y) \neq \bar{d}(Y)$ 的三流形例子，证明对合不变量具有更强的检测能力。

提出的方法

• 利用图 bordism 映射和代数论证，证明 $\mathit{CF}^{-}(Y_1\#Y_2, \mathfrak{s}_1\#\mathfrak{s}_2)$ 上的共轭对合 $\iota$ 在 $\mathbb{Z}_2[U]$ 上链同伦等价于 $\iota_1 \otimes \iota_2$。
• 使用映射锥理论，将 $\mathit{CFI}^{-}(Y_1\#Y_2, \mathfrak{s}_1\#\mathfrak{s}_2)$ 计算为 $\mathit{CF}^{-}(Y_1) \otimes \mathit{CF}^{-}(Y_2)$ 上关于 $Q(1 + \iota_1 \otimes \iota_2)$ 的锥。
• 利用 $\mathit{CF}^{-}$ 复形的 $\mathbb{Z}$-分次结构，证明额外项 $U(\Phi_1\iota_1 \otimes \Phi_2\iota_2)$ 链同伦等价于零。
• 将对合海格纳弗洛尔同调 $\mathit{HFI}^{-}$ 定义为在 $\mathcal{R} = \mathbb{Z}_2[Q,U]/(Q^2)$ 上的映射锥复形的同调。
• 探讨 $\mathit{HFI}^{-}$ 上是否存在 $\mathcal{A}_\infty$-模结构，提出关于连通和的 Eilenberg-Moore 型谱序列的猜想。
• 比较连通和锥的同调与单个 $\mathit{CFI}^{-}$ 复形张量积的同调，证明在 $\mathbb{Z}_2[U]$ 上为拟同构，但非 $\mathcal{R}$-等变。

实验结果

研究问题

• RQ1 三流形连通和的海格纳弗洛尔复形上的共轭对合是否可分解为各自主对合的张量积？
• RQ2 对合校正项 $\underline{d}$ 和 $\bar{d}$ 是否能检测到标准 $d$-不变量之外的同调 bordism 群中的非平凡元素？
• RQ3 是否存在从三维同调 bordism 群 $\Theta^3_{\mathbb{Z}}$ 到代数定义的带对合复形群（模局部等价）的同态？
• RQ4 对合海格纳弗洛尔同调的连通和公式是否能导出 Eilenberg-Moore 型谱序列？
• RQ5 $\mathit{HFI}^{-}$ 上的 $\mathcal{A}_\infty$-模结构是否可被构造，以实现猜想的 Künneth 型同构？

主要发现

• 在 $\mathbb{Z}_2[U]$ 上，$\mathit{CF}^{-}(Y_1\#Y_2, \mathfrak{s}_1\#\mathfrak{s}_2)$ 上的共轭对合 $\iota$ 链同伦等价于 $\iota_1 \otimes \iota_2$，从而证明了对合海格纳弗洛尔同调的连通和公式。
• 对合校正项满足 $\underline{d}(Y_1\#Y_2) = \underline{d}(Y_1) + \underline{d}(Y_2)$ 和 $\bar{d}(Y_1\#Y_2) = \bar{d}(Y_1) + \bar{d}(Y_2)$，扩展了标准 $d$-不变量的可加性。
• 本文构造了一个从 $\Theta^3_{\mathbb{Z}}$ 到带同伦对合的复形阿贝尔群（模局部等价）的同态，提供了一个新的代数不变量。
• 给出了一个显式例子，其中 $\underline{d}(Y) \neq d(Y) \neq \bar{d}(Y)$，表明对合不变量能检测到比标准 $d$-不变量更丰富的结构。
• 连通和映射锥的同调在 $\mathbb{Z}_2[U]$ 上拟同构于单个 $\mathit{CFI}^{-}$ 复形张量积的同调，但非 $\mathcal{R}$-等变。
• 本文猜想 $\mathit{HFI}^{-}(Y_1\#Y_2) \cong \mathit{HFI}^{-}(Y_1) \tilde{\otimes}_{\mathfrak{R}} \mathit{HFI}^{-}(Y_2)$ 作为 $\mathcal{A}_\infty$-模，对应存在一个 Eilenberg-Moore 型谱序列。