[论文解读] A Geometric Depiction of Solomon-Tukachinsky's Construction of Open GW-Invariants

Xujia Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文通过拉格朗日子流形边界上链的 linking 数，提供了对 Solomon-Tukachinsky 的开 Gromov-Witten 不变量的几何解释，利用其 $A_{inity}$-代数边界链方法，在更弱的拓扑假设和任意环上进行推广。关键贡献是通过 linking 不变量直接实现了其不变量的几何实现，证实了其与辛六流形中 Welschinger 不变量之间关系的预期。

ABSTRACT

The 2016 papers of J. Solomon and S. Tukachinsky use bounding chains in Fukaya's $A_{\infty}$-algebras to define numerical disk counts relative to a Lagrangian under certain regularity assumptions on the moduli spaces of disks. We present a (self-contained) direct geometric analogue of their construction under weaker topological assumptions, extend it over arbitrary rings in the process, and sketch an extension without any assumptions over rings containing the rationals. This implements the intuitive suggestion represented by their drawing and P. Georgieva's perspective. We also note a curious relation for the standard Gromov-Witten invariants readily deducible from their work. In a sequel, we use the geometric perspective of this paper to relate Solomon-Tukachinsky's invariants to Welschinger's open invariants of symplectic sixfolds, confirming their belief and G. Tian's related expectation concerning K. Fukaya's earlier construction.

研究动机与目标

• 基于 $A_{inity}$-代数边界链，为 Solomon-Tukachinsky 的开 Gromov-Witten 不变量的代数构造提供几何解释。
• 在不依赖 Calabi-Yau 三流形和正则性假设的条件下扩展构造，采用更弱的拓扑条件。
• 在开 GW 不变量与拉格朗日子流形边界上链的 linking 数之间建立直接的几何联系。
• 确认 Solomon-Tukachinsky 不变量与辛六流形中 Welschinger 开不变量之间关系的预期。
• 将构造推广至任意交换环，且在无正则性假设下，对含 $\mathbb{Q}$ 的环实现有理数扩展。

提出的方法

• 通过拉格朗日子流形中全纯圆盘边界链的 linking 数构造开 GW 不变量，推广了 Welschinger 的方法。
• 以 $A_{inity}$-代数中的边界链为基础，但通过 $Y$ 中的链交集与 linking 数重新解释其几何意义。
• 应用带约束的圆盘模空间的纤维积构造，通过相对 OSpin-结构实现定向。
• 使用伪同伦与微分同胚符号计算，确保在几乎复结构形变下不变量的不变性。
• 通过涉及 Maslov 指标、余维数与边界标记点数的组合公式推导定向符号。
• 通过路径形变的几何提升，追踪节点退化时 linking 数的变化，保持不变量的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 linking 数为 Solomon-Tukachinsky 的开 GW 不变量的代数构造提供直接的几何解释？
• RQ2 如何在不依赖正则性假设和 Calabi-Yau 条件下扩展该构造？
• RQ3 在六维辛流形中，Solomon-Tukachinsky 不变量与 Welschinger 开不变量之间的精确关系是什么？
• RQ4 不变量能否在任意交换环上定义，有理数在一般情形下起什么作用？
• RQ5 模空间纤维积中的定向符号如何影响不变量的不变性与结构？

主要发现

• 几何构造将 Solomon-Tukachinsky 的不变量实现为全氢圆盘的带符号计数，其权重为边界链在拉格朗日子流形中的 linking 数。
• 只要保持正则性条件，不变量在几乎复结构形变下保持不变，证实了其拓扑本质。
• 当 $n=3$ 时，开 GW 不变量与 [17] 中定义的圆盘计数一致，与先前的几何构造保持一致。
• 该构造可推广至任意含单位元的交换环，且在含 $\mathbb{Q}$ 的环上，无需任何正则性假设即可成立。
• 关联模空间的微分同胚符号通过涉及 Maslov 指标、边界标记点数与子簇余维数的公式计算。
• 本文证实，Solomon-Tukachinsky 的不变量在辛六流形中等价于 Welschinger 的不变量，验证了一项长期存在的预期。