[论文解读] A Heuristic Method to solve large-scale Integer Linear Programs by combining Branch-and-Price with a Quantum Algorithm

Marika Svensson, Martin Andersson+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文提出一种混合量子-经典方法，将量子算法（特别是QAOA）集成到分支定价框架中，以求解大规模整数线性规划问题，特别是航线分配问题。通过使用QAOA高效求解子问题，该方法降低了算法深度并提升了解的质量，表明当可实现多项式深度量子电路时，该方法具有可行性。

ABSTRACT

We present a method that integrates any quantum algorithm capable of finding solutions to integer linear programs into the Branch-and-Price algorithm, which is regularly used to solve large-scale integer linear programs with a specific structure. The role of the quantum algorithm is to find integer solutions to subproblems appearing in Branch-and-Price. Obtaining optimal or near-optimal integer solutions to these subproblems can increase the quality of solutions and reduce the depth and branching factor of the Branch-and-Price algorithm and hence reduce the overall running time. We investigate the viability of the approach by considering the Tail Assignment problem and the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA). Here, the master problem is the optimization problem Set Partitioning or its decision version Exact Cover and can be expressed as finding the ground state of an Ising spin glass Hamiltonian. For Exact Cover, our numerical results indicate that the required algorithm depth decreases with the number of feasible solutions for a given success probability of finding a feasible solution. For Set Partitioning, on the other hand, we find that for a given success probability of finding the optimal solution, the required algorithm depth can increase with the number of feasible solutions if the Hamiltonian is balanced poorly, which in the worst case is exponential in the problem size. We therefore address the importance of properly balancing the objective and constraint parts of the Hamiltonian. We empirically find that the approach is viable with QAOA if polynomial algorithm depth can be realized on quantum devices.

研究动机与目标

• 开发一种混合量子-经典方法，以提高求解大规模整数线性规划问题的效率。
• 集成一种能够求解分支定价框架中子问题的量子算法。
• 评估在航线分配问题背景下使用QAOA求解子问题的可行性。
• 分析哈密顿量平衡对成功所需量子电路深度的影响。
• 确定当量子设备仅能实现多项式深度电路时，该混合方法是否具有实用性。

提出的方法

• 该方法将分支定价与量子算法结合，用于求解列生成阶段产生的子问题。
• 主问题被建模为集合划分或精确覆盖问题，其映射为寻找伊辛自旋玻璃哈密顿量的基态。
• 使用QAOA求解子问题，通过仔细平衡哈密顿量的目标部分与约束部分，以减少所需电路深度。
• 分析找到可行解或最优解的成功概率，作为可行解数量和电路深度的函数。
• 通过数值实验评估在不同问题条件下，达到给定成功概率所需的算法深度。
• 该方法在航线分配问题上进行了测试，采用精确覆盖和集合划分两种公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 QAOA能否有效集成到分支定价算法中，以求解大规模整数线性规划问题？
• RQ2 可行解数量如何影响在给定成功概率下所需的量子电路深度？
• RQ3 哈密顿量平衡不佳对最优解恢复所需算法深度有何影响？
• RQ4 在何种条件下，该混合方法能减少分支定价的整体运行时间？
• RQ5 如果量子设备仅能实现多项式深度电路，该方法是否仍具可行性？

主要发现

• 对于精确覆盖问题，在固定成功概率下，随着可行解数量增加，所需算法深度降低。
• 对于集合划分问题，若哈密顿量平衡不佳，所需深度可能随可行解数量增加而上升，最坏情况下可能呈指数增长。
• 正确平衡哈密顿量的目标部分与约束部分，对最小化所需量子电路深度至关重要。
• 若量子设备可实现多项式深度电路，则使用QAOA的混合方法具有可行性。
• 该方法可提升解的质量，并减少分支定价中的分支因子与深度，从而可能加速收敛。
• 数值结果证实，当电路深度可控时，量子子问题求解可增强经典分解方法的性能。