[论文解读] A new explicit way of obtaining special generic maps into the 3-dimensional Euclidean space

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出了一种从闭流形到三维欧几里得空间的特殊通用映射的新显式构造方法，利用到二维多面体的伪商映射以及局部粘合技术。关键贡献在于证明了此类映射可系统地构建，揭示了源流形上存在强烈的微分同胚限制——特别是，5维和6维单连通流形若允许此类映射，则必为标准球面，而4维流形在定向性条件下为标准球面或异样球面。

ABSTRACT

A special generic map is a smooth map regarded as a natural generalization of Morse functions with just 2 singular points on homotopy spheres. Canonical projections of unit spheres are simplest examples of such maps and manifolds admitting special generic maps into the plane are completely determined by Saeki in 1993 and ones admitting such maps into general Euclidean spaces are determined under appropriate conditions. Moreover, if the difference of dimensions of source and target manifolds are not so large, then the diffeomorphism types of source manifolds are often limited. These explicit facts make special generic maps attractive objects in the theory of Morse functions and higher dimensional versions and application to algebraic and differentiable topology of manifolds, which is an important study in both singuarity theory of maps and algebraic and differential topology of manifolds. In this paper, we demonstrate a way of construction of special generic maps into the 3-dimensional Euclidean space. For this, first we prepare maps onto 2-dimensional polyhedra regarded as simplicial maps naturally called pseudo quotient maps, which are generalizations of the quotient maps to the spaces of all the connected components of inverse images, so-called Reeb spaces of original smooth maps, being fundamental and important tools in the studies. The success of the construction explicitly shows that a class of maps which seems to cover a larger class of source manifolds may not be not so large and that the diffeomorphism types of source manifolds may be restricted as strongly as special generic maps. We also explain differential topological facts and problems related to this.

研究动机与目标

• 开发一种新的、显式的构造方法，用于将特殊通用映射构建到三维欧几里得空间。
• 研究允许此类映射的流形的微分同胚类型，尤其关注低维情形。
• 阐明特殊通用映射的存在所施加的拓扑与微分约束。
• 拓展对折痕映射、Reeb 空间与源流形分类之间关系的理解。

提出的方法

• 构建到二维多面体的伪商映射，作为光滑映射 Reeb 空间的推广。
• 利用到三维流形的折痕映射的局部模型，通过粘合技术构建全局映射。
• 应用稳定折痕映射及其奇点集的理论，特别关注指数为 0 的奇点。
• 利用关于同伦球面与 4-流形的已知结果，以约束源流形的类型。
• 在高维中利用单值性与同伦群的考虑（例如 S³ 的 π₁(SO(4))），尤其在 5 维中。
• 通过与 Saeki 和 Wrazidlo 的已知分类结果的一致性来验证构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用多面体 Reeb 空间实现对 R³ 中特殊通用映射的系统化、显式构造？
• RQ2 允许映射到 R³ 的闭流形的微分同胚类型是什么，特别是在 4、5 和 6 维中？
• RQ3 定向性与同调条件（例如 H₂ 的消失）如何影响此类流形的分类？
• RQ4 从特殊通用映射到 R³ 所施加的源流形约束，与到 R⁴ 或 R² 的情况在多大程度上一致？
• RQ5 该构造方法能否推广到已知情形之外，例如异样 4-球面或非标准 7-球面？

主要发现

• 在 5 维和 6 维中，任何允许映射到 R³ 的单连通闭流形都微分同胚于标准球面。
• 对于允许此类映射的 4 维单连通流形，若目标多面体是定向的，则源流形为标准球面或 S⁴。
• 该构造证实了允许映射到 R³ 的流形类并不比先前认为的更大，且存在强烈的微分同胚限制。
• 该方法成功实现了对非平凡多面体的映射，例如其奇点集包含球面与二重点的多面体，如 Bing 的房子。
• 在 5 维中，微分结构的唯一性使得构造可类比于低维情形，通过 π₁(SO(2)) → π₁(SO(4)) 的满射性解决单值性约束。
• 结果与 Saeki 的分类一致：一个 5 维单连通流形允许映射到 R³ 当且仅当它是 S³-丛在 S² 上的连通和。