[论文解读] A non regular Fr\"olicher Lie group of diffeomorphisms

Jean-Pierre Magnot|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明了在开单位区间 I 上的微分同胚群 𝒟，若赋予其在紧集上所有导数一致收敛的拓扑，则其为非正则的：指数映射对某些李代数中的路径无法定义。所识别出的不可积路径对应于 Burger 方程的平凡解，揭示了非线性偏微分方程与微分同胚群几何之间的深刻联系。

ABSTRACT

We show that a group of diffeomorphisms $\D$ on the open unit interval $I,$ equipped with the topology of uniform convergence on any compact set of the derivatives at any order, is non regular: the exponential map is not defined for some path of the Lie algebra. The non integrable path that we exhibit appears also as a trivial solution of the Burger's equation.

研究动机与目标

• 研究开单位区间 I 上的微分同胚群在 Frölicher 群拓扑下的正则性。
• 确定 𝒟 的李代数中所有光滑路径的指数映射是否均有定义。
• 明确构造李代数中一个不可积路径，从而证明非正则性。
• 探讨此类不可积路径与 Burger 方程解之间的联系。

提出的方法

• 通过紧子集上所有导数的一致收敛性，赋予开单位区间 I 上的微分同胚群 𝒟 Frölicher 群结构。
• 将 𝒟 的李代数识别为满足适当衰减或增长条件的光滑向量场空间。
• 构造李代数中一个无法积分生成一参子群的特定路径，从而证明非正则性。
• 证明该路径对应于 Burger 方程的一个平凡解，从而在几何非正则性与 PDE 理论之间建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Frölicher 群拓扑下，开单位区间上的微分同胚群是否为正则的？
• RQ2 𝒟 的李代数中是否存在某些光滑路径使得指数映射无法定义？
• RQ3 能否显式构造 𝒟 的李代数中一个不可积路径，并将其与已知 PDE 相关联？
• RQ4 在无限维李群的背景下，Burger 方程的解具有何种几何意义？
• RQ5 不可积性的失效如何与微分同胚群的拓扑相关联？

主要发现

• 在开单位区间上，微分同胚群 𝒟 为非正则的，因为其李代数中某些路径的指数映射无法定义。
• 显式构造了一个李代数中的不可积路径，证明了指数映射的失效。
• 该不可积路径对应于 Burger 方程的一个平凡解，从而在 PDE 解与几何非正则性之间建立了直接联系。
• 所有导数在紧集上一致收敛的拓扑在群结构的非正则性中起着关键作用。
• 该结果表明，即使在一维情形下，微分同胚群也可能不正则，从而挑战了无限维李群理论中关于光滑性的既有假设。