[论文解读] A Note on Decidable Separability by Piecewise Testable Languages

Wojciech Czerwiński, Wim Martens|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2014

semigroups and automata theory参考文献 60被引用 5

一句话总结

本文建立了上下文无关语言通过有限测试语言实现可分性的可判定性——这一结果尤为引人注目，因为判断一个上下文无关语言是否为有限测试语言本身是不可判定的。作者将此结果推广至任意在弱操作下封闭且具有可判定的空集问题与对角问题的语言类，包括由带标签的向量加法系统定义的语言。

ABSTRACT

The separability problem for languages from a class $\mathcal{C}$ by languages of a class $\mathcal{S}$ asks whether, for two given word languages $I$ and $E$ from $\mathcal{C}$, there exists a language $S$ from $\mathcal{S}$ which includes $I$ and excludes $E$, that is, $I \subseteq S$ and $S \cap E = \emptyset$. It is known that separability for context-free languages by any class containing all definite languages (such as regular languages) is undecidable. We show that separability of context-free languages by piecewise languages is decidable. This may be remarkable in the light that it is undecidable whether a context-free language is piecewise testable. We generalize this decidability result by showing that, for every class of languages that is robust under some rather weak operations and has decidable emptiness and diagonal problems, separability with respect to piecewise testable languages is decidable. An example of such a class is the class of languages defined by labeled vector addition systems.

研究动机与目标

• 确定上下文无关语言通过有限测试语言实现可分性是否可判定。
• 研究有限测试语言可分性保持可判定性的更广泛条件。
• 将可判定性结果从上下文无关语言扩展至具有特定封闭性与决策性质的其他语言类。
• 探讨弱封闭性质以及可判定的空集问题与对角问题在实现复杂语言类中可分性可判定性中的作用。
• 为诸如带标签的向量加法系统所定义的语言类等提供一个通用框架。

提出的方法

• 利用语言类在弱操作（如交集与补集）下的封闭性，分析可分性。
• 将可分性问题归约为目标语言类中空集问题与对角问题的可判定性。
• 应用逻辑与自动机理论技术，刻画有限测试语言及其与上下文无关语言的相互作用。
• 在语言分离的背景下，利用有限测试语言的结构——通过禁止子串或子串定义——。
• 基于所考虑语言类的封闭性与决策性质，建立一个通用的可判定性准则。
• 将该框架应用于具体语言类（如由带标签的向量加法系统定义的语言），以证明其广泛适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个上下文无关语言能否被一个有限测试语言分离，这一问题是否可判定？
• RQ2 语言类的哪些结构与封闭性质可确保有限测试语言可分性保持可判定？
• RQ3 上下文无关语言的可判定性结果能否推广至常规语言或确定性语言之外的其他类？
• RQ4 语言类的空集问题与对角问题与其通过有限测试语言实现可分性的可判定性之间有何关系？
• RQ5 弱封闭操作在实现复杂语言类中可分性可判定性方面起到何种作用？

主要发现

• 尽管判断一个上下文无关语言是否为有限测试语言本身是不可判定的，但其通过有限测试语言实现可分性却是可判定的。
• 对于在弱操作下封闭且具有可判定空集问题与对角问题的任意语言类，可分性可判定性均成立。
• 该结果可推广至由带标签的向量加法系统定义的语言类，这些语言类满足所需的封闭性与决策性质。
• 该框架为在多样化语言类中建立可分性可判定性提供了统一方法。
• 关键洞见在于，有限测试语言的结构使得在目标类中结合可判定决策问题时，能够实现有效分离。
• 该方法避免了对上下文无关语言的有限测试性进行直接分析，而是依赖于封闭性与决策性质来实现可判定性。