[论文解读] A Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Second Order Elliptic Equations in Non-Divergence Form

Chunmei Wang, Junping Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于具有粗糙系数的非散度形式二阶椭圆方程的原始-对偶弱伽辽金有限元方法。通过构造离散弱海森矩阵并将问题表述为最小化二次泛函的约束优化问题，该方法在凸与非凸区域上即使面对非光滑和不连续的系数，也能在离散 $H^2$、$H^1$ 和 $L^2$ 范数下实现最优收敛速率。

ABSTRACT

This article proposes a new numerical algorithm for second order elliptic equations in non-divergence form. The new method is based on a discrete weak Hessian operator locally constructed by following the weak Galerkin strategy. The numerical solution is characterized as a minimization of a non-negative quadratic functional with constraints that mimic the second order elliptic equation by using the discrete weak Hessian. The resulting Euler-Lagrange equation offers a symmetric finite element scheme involving both the primal and a dual variable known as the Lagrange multiplier, and thus the name of primal-dual weak Galerkin finite element method. Optimal order error estimates are derived for the finite element approximations in a discrete $H^2$-norm, as well as the usual $H^1$- and $L^2$-norms. Some numerical results are presented for smooth and non-smooth coefficients on convex and non-convex domains.

研究动机与目标

• 解决在系数不连续或非光滑时经典变分方法失效的二阶椭圆PDE在非散度形式下的挑战。
• 当系数张量 $a_{ij} \in L^\infty(\Omega)$ 不光滑时，开发一种稳定且精确的有限元方法，从而无法采用标准弱形式。
• 通过引入具有原始-对偶结构的约束优化框架，克服离散弱伽辽金格式的不适定性。
• 在Cordes条件下，为该方法在离散 $H^2$、$H^1$ 和 $L^2$ 范数下建立最优误差估计。
• 在凸与非凸区域上均表现出稳健性能，包括在角点或原点处存在奇点的问题。

提出的方法

• 使用弱伽辽金策略构造离散弱海森矩阵算子，实现在多面体网格上对二阶导数的局部重构。
• 将离散问题表述为非负二次泛函 $J(v) = \frac{1}{2}s(v,v)$ 的约束最小化问题，受方程 $\sum_{i,j} (a_{ij} \partial_{ij,d}^2 u_h, w) = (f,w)$ 约束，其中对所有测试函数 $w \in W_{h,k}$ 成立。
• 引入对偶变量（拉格朗日乘子）$\lambda_h$ 以强制满足约束，从而导出包含原始变量与对偶变量的对称混合有限元格式。
• 通过约束优化格式确保稳定性，避免引入额外的罚项。
• 对原始变量使用 $C^0$-连续有限元空间，对对偶变量使用不连续空间，从而在非结构化网格上实现局部自由度与灵活性。
• 求解所得的欧拉-拉格朗日系统，得到关于离散解 $u_h$ 与乘子 $\lambda_h$ 的对称正定线性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数张量不连续或仅为有界时，能否为非散度形式的二阶椭圆PDE开发一种稳定且收敛的有限元方法？
• RQ2 如何通过构造离散弱海森矩阵算子，将弱伽辽金框架扩展至处理非散度形式PDE？
• RQ3 对于具有粗糙系数的问题，该方法在 $H^2$、$H^1$ 与 $L^2$ 范数下的最优收敛速率是多少？
• RQ4 在解可能降低正则性的非凸区域上，该方法表现如何？
• RQ5 当系数矩阵在内部点处不连续时，原始-对偶弱伽辽金格式是否仍能保持最优收敛？

主要发现

• 在 $\Omega = (0,1)^2$ 上，对解 $u = |x|^{1.6}$ 的数值实验显示，在 $H^1$-半范数下收敛率为 $h^{1.6}$，在 $L^2$-范数下收敛率为 $h^2$，与理论正则性 $H^{2.6-\tau}(\Omega)$ 一致。
• 对拉格朗日乘子 $\lambda_h$，在 $L^2$-范数下观测到约 $r \approx 0.6$ 的收敛率，与非光滑解的理论预测相符。
• 在 $\Omega = (-1,1)^2$ 上，系数矩阵在原点处不连续，方法仍实现 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下约 $r \approx 1.0$ 的收敛率，且 $\lambda_h$ 的 $L^2$-范数收敛率约为 $r \approx 0.6$，证实了其鲁棒性。
• 在Cordes条件下，即使系数不连续，该方法在 $H^2$-范数下仍保持最优收敛。
• 数值结果表明，$u - u_h$ 的 $L^2$-误差以 $r \approx 2.0$ 的速率收敛，这是最优的，但尚未被现有理论完全解释。
• 该格式在凸与非凸区域上均保持稳定与收敛，包括存在角点奇点的情况，表明对几何与系数不规则性具有鲁棒性。