[论文解读] A unified approach to well-posedness of type-I backward stochastic Volterra integral equations

Camilo Hernández, Dylan Possamaï|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2020

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 58被引用 17

一句话总结

本文通过将多维I型倒向随机伏拉索夫积分方程（BSVIEs）转化为等价的无限维标准倒向SDE系统，提出了一套统一的框架，用于证明其适定性。关键贡献在于建立了BSVIE解与该扩展系统解之间的等价性，以及通过哈密顿-雅可比-贝尔曼型PDE得到的表示公式，从而实现了对时不一致随机控制问题的博弈论分析。

ABSTRACT

We study a novel general class of multidimensional type-I backward stochastic Volterra integral equations. Toward this goal, we introduce an infinite dimensional system of standard backward SDEs and establish its well-posedness, and we show that it is equivalent to that of a type-I backward stochastic Volterra integral equation. We also establish a representation formula in terms of non-linear semilinear partial differential equation of Hamilton-Jacobi-Bellman type. As an application, we consider the study of time-inconsistent stochastic control from a game-theoretic point of view. We show the equivalence of two current approaches to this problem from both a probabilistic and an analytic point of view.

研究动机与目标

• 开发一种通用且统一的方法，用于建立多维I型倒向随机伏拉索夫积分方程（BSVIEs）的适定性。
• 建立I型BSVIE与无限维标准倒向SDE系统之间的等价性。
• 通过哈密顿-雅可比-贝尔曼型非线性半线性PDE，推导出解的表示公式。
• 从博弈论视角，将该框架应用于时不一致随机控制问题。
• 严格证明时不一致控制中概率方法与解析方法所得均衡解之间的等价性。

提出的方法

• 作者提出一个与原始I型BSVIE等价的无限维标准倒向SDE系统。
• 在生成器和终端条件满足适当的可积性与利普希茨条件时，证明了该无限维系统的适定性。
• 通过涉及适应过程与随机积分的变换，证明了BSVIE的解与无限维SDE系统解之间的等价性。
• 通过验证论证，将解与哈密顿-雅可比-贝尔曼型PDE联系起来，推导出表示公式。
• 通过证明概率均衡策略与HJB方程解析解之间的等价性，将该框架应用于时不一致控制问题。
• 采用压缩映射法证明存在性与唯一性，利用指数加权与格朗沃尔型估计控制解之间差异的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种统一方法，用于建立多维I型BSVIE的适定性？
• RQ2 是否存在一个等价的无限维标准倒向SDE系统，能够捕捉I型BSVIE的解结构？
• RQ3 如何通过哈密顿-雅可比-贝尔曼型非线性PDE表示I型BSVIE的解？
• RQ4 概率方法与解析方法在时不一致随机控制中的联系是什么？
• RQ5 能否在此框架内严格建立博弈论均衡与HJB方程解之间的等价性？

主要发现

• 在标准可积性与利普希茨条件下，无限维标准倒向SDE系统是适定的，确保了解的存在性与唯一性。
• I型BSVIE的解与无限维SDE系统解之间存在等价性，从而为BSVIE解提供了新的表征方式。
• 推导出一个表示公式，将BSVIE的解与哈密顿-雅可比-贝尔曼型非线性半线性PDE联系起来。
• 该框架实现了时不一致随机控制问题中概率方法与解析方法之间严格等价。
• 通过指数加权的压缩映射法确保了解的唯一性与稳定性，压缩常数有界于 $ C/c $，当 $ c $ 较大时该值变小。
• 对角过程 $ v_t^t $ 无需属于 $ \mathbb{H}^2 $，从而放宽了BSVIE分析中常见的技术性假设。