[论文解读] Analysis of a positivity-preserving splitting scheme for some nonlinear stochastic heat equations

Charles-Édouard Bréhier, David Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2023

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 68被引用 3

一句话总结

本文提出了一种保正性 Lie–Trotter 分裂格式，结合有限差分法，用于求解带乘性空间-时间白噪声的非线性随机热方程。该格式在满足 CFL 条件下，确保了均方收敛性，时间方向收敛率为 1/4，空间方向收敛率为 1/2，且在标准方法失效的数值模拟中保持了解的正性。

ABSTRACT

We construct a positivity-preserving Lie--Trotter splitting scheme with finite difference discretization in space for approximating the solutions to a class of nonlinear stochastic heat equations with multiplicative space-time white noise. We prove that this explicit numerical scheme converges in the mean-square sense, with rate $1/4$ in time and rate $1/2$ in space, under appropriate CFL conditions. Numerical experiments illustrate the superiority of the proposed numerical scheme compared with standard numerical methods which do not preserve positivity.

研究动机与目标

• 开发一种能保持带乘性空间-时间白噪声的非线性随机热方程解正性的数值格式。
• 在适当的 CFL 条件下，分析全离散分裂格式的均方收敛性。
• 解决在具有 Dirichlet 边界条件的紧致区域上 SPDE 缺乏保正性数值方法的问题。
• 提供一种计算高效且显式的时间积分器，以在随机 PDE 模拟中保持物理一致性。

提出的方法

• 采用 Lie–Trotter 分裂策略将 SPDE 分解为确定性和随机子系统，从而可对每个子问题进行精确或半解析求解。
• 确定性部分通过中心有限差分法进行空间离散化，利用矩阵 $ N^2 D^N $ 近似拉普拉斯算子。
• 在每一步时间推进中，通过冻结非线性系数 $ f(u_{m,n}^{ ext{LT}}) $，将随机部分精确求解为几何布朗运动。
• 时间积分采用显式递推关系：$ u_{m+1}^{ ext{LT}} = \exp(\tau N^2 D^N) \hat{u}_{m+1}^{ ext{LT}} $，其中 $ \hat{u}_{m+1,n}^{ ext{LT}} $ 包含随机指数项。
• 该格式被应用于具有全局 Lipschitz 非线性的标量形式和系统形式的随机热方程。
• 在 $ g $ 全局 Lipschitz、$ C^1 $ 且满足 $ g(0) = 0 $ 的假设下，以及初始数据 $ u_0 \geq 0 $ 的条件下进行收敛性分析。

(a) $g(v)=v$

实验结果

研究问题

• RQ1 全离散分裂格式能否保持带乘性空间-时间白噪声的非线性 SPDE 解的正性？
• RQ2 此类 SPDE 的显式保正性格式的均方收敛率是多少？
• RQ3 与标准方法（如 Euler–Maruyama）相比，所提格式在保持正性方面表现如何？
• RQ4 该格式在标准 CFL 条件下是否保持稳定性和收敛性？
• RQ5 分裂方法能否扩展至耦合随机热方程系统，同时保持正性？

主要发现

• 所提出的 Lie–Trotter 分裂格式在适当的 CFL 条件下实现了均方收敛性，时间方向收敛率为 $ 1/4 $，空间方向收敛率为 $ 1/2 $。
• 数值实验表明，Lie–Trotter 格式在 500 条样本路径中全部保持了正性，而 Euler–Maruyama 格式在此方面完全失败。
• 随机指数 Euler 和半隐式 Euler–Maruyama 格式分别在 99.8% 和 99.2% 的样本中保持了正性，但仍不如所提格式在一致性和稳定性方面表现优异。
• 该格式计算高效且显式，避免了在每个时间步求解非线性系统。
• 收敛性分析通过连续与离散格林函数差值的严格估计得到支持，时间离散化误差的界为 $ \mathcal{O}(\tau^{1/2}) $。
• 该方法是首个已知的在具有 Dirichlet 边界条件的紧致区域上，针对由空间-时间白噪声驱动的非线性 SPDE 的保正性数值格式。

(b) $g(v)=\frac{v}{(1+v^{2})}$