[论文解读] Analytic solution of nonlinear fractional Burgers-type equation by invariant subspace method

Pietro Artale Harris, Roberto Garra|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2013

Fractional Differential Equations SolutionsMathematics参考文献 8被引用 22

一句话总结

本文提出了一种基于不变子空间法的解析解法，用于求解涉及Caputo时间分数阶导数的非线性时间分数阶Burgers型方程，实现了精确解的构造。通过识别由幂函数和特殊函数张成的不变子空间，作者将问题转化为分数阶微分系统，推导出包含强迫项和变系数项的各类方程的精确解，并将该方法推广至同时包含空间和时间分数阶导数的方程。

ABSTRACT

In this paper we study the analytic solutions of Burgers-type nonlinear fractional equations by means of the Invariant Subspace Method. We first study a class of nonlinear equations directly related to the time-fractional Burgers equation. Some generalizations linked to the forced time-fractional Burgers equations and variable-coefficient diffusion are also considered. Finally we study a Burgers-type equation involving both space and time-fractional derivatives.

研究动机与目标

• 开发一种求解非线性时间分数阶Burgers型方程的精确解析方法。
• 将不变子空间法扩展至具有Caputo导数的分数阶微分方程。
• 解决流体力学和黏弹性力学中非线性分数阶PDE缺乏精确解法技术的问题。
• 将该方法推广至含强迫项和变系数扩散项的方程。
• 将该方法应用于同时包含空间和时间分数阶导数的方程。

提出的方法

• 将不变子空间法应用于与Burgers方程相关的非线性时间分数阶扩散方程，通过关于x的微分操作实现。
• 该方法识别出由函数如$1$和$x^\beta$张成的不变子空间，从而允许解的形式为$u(x,t) = a(t)x^\beta + \text{const}$。
• 通过将PDE约化为关于时间依赖系数$a(t), b(t), c(t)$的分数阶常微分方程组，推导出精确解。
• 分数阶导数以Caputo意义处理，从而可利用Riemann-Liouville积分及已知的分数阶微积分恒等式。
• 利用分数阶积分及Gamma函数的性质，特别是$J^\alpha t^{\delta}$和$D^\alpha t^{\delta}$，构造解。
• 该方法被扩展至具有时间依赖扩散系数$k(t)$的方程，以及同时包含空间和时间分数阶导数的方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 不变子空间法能否为非线性时间分数阶Burgers型方程提供精确解析解？
• RQ2 该方法如何适应具有变系数或外部强迫项的方程？
• RQ3 对于同时包含空间和时间分数阶Caputo导数的Burgers型方程，其精确解是什么？
• RQ4 当$\alpha \to 1$且$k \to 0$时，解的行为如何？其与经典Burgers方程解的关系是什么？
• RQ5 在分数阶设定下，解的存在性与唯一性需满足何种条件？

主要发现

• 通过不变子空间方法将时间分数阶Burgers方程转化为分数阶常微分方程组，成功获得精确解。
• 通过求解包含$a(t), b(t), c(t)$的分数阶常微分方程组，推导出强迫时间分数阶Burgers方程的解，其中$a(t)$以分数阶积分形式表达。
• 对于具有时间依赖扩散系数$k(t)$的方程，只要$k(t) \in L_1([0,t])$，解即存在，并可通过分数阶积分构造。
• 在$\alpha \in (0,1) \setminus \{1/2\}$条件下，方程$\partial_t^\alpha u + u \partial_x^\beta u = 0$的精确解为$u(x,t) = -\frac{\Gamma(1-\alpha)}{\Gamma(\beta+1)\Gamma(1-2\alpha)} \frac{x^\beta}{t^\alpha} + \text{const}$。
• 当$\alpha \to 1$时，该解退化为经典Burgers方程的解，其中$t$被替换为$t^\alpha / C_\alpha$，其中$C_\alpha = -\Gamma(1-\alpha)/\Gamma(1-2\alpha)$。
• 结果表明该方法可推广至更复杂的分数阶方程，其不变子空间由分数阶微积分中的特殊函数生成。