[论文解读] Anticyclotomic p-ordinary Iwasawa Theory of Elliptic Modular Forms

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文通过贝林森-弗拉希元素与显式互惠律，建立了在 $ p $ 分裂的虚二次域上，权 $ k \geq 2 $ 的椭圆模形式的反循环 $ p $-普通 Iwasawa 主猜想，证明了 $ p $-进 $ L $-函数属于对偶 Selmer 群的特征理想，通过欧拉系方法与 $ p $-进高度配对，将经典结果推广至非 CM、$ p $-普通形式。

ABSTRACT

This is the first in a series of articles where we will study the Iwasawa theory of an elliptic modular form f along the anticyclotomic Zp-tower of an imaginary quadratic field K where the prime p splits completely. Our goal in this portion is to prove the Iwasawa main conjecture for suitable twists of f assuming that f is p-ordinary, both in the definite and indefinite setups simultaneously, via an analysis of Beilinson-Flach elements.

研究动机与目标

• 在 $ p $ 分裂的虚二次域上，建立沿反循环 $ \mathbb{Z}_p $-扩张的 $ p $-普通椭圆模形式的 Iwasawa 主猜想。
• 通过贝林森-弗拉希元素的欧拉系，将此前关于 CM 形式与椭圆曲线的结果推广至非 CM、$ p $-普通模形式。
• 通过 Rankin-Selberg $ L $-函数与 $ p $-进 $ L $-函数的单一框架，统一反循环 Iwasawa 理论中的确定与不定情形。
• 在反循环设定下，利用上同调导数的贝林森-弗拉希元素，证明一个鲁宾型公式，用于反循环 $ p $-进高度配对。

提出的方法

• 利用 [KLZ15a] 的结果，通过 Rankin-Selberg 卷积，在 $ K $ 上构造贝林森-弗拉希类的欧拉系。
• 应用 Coleman 映射与显式互惠律，将贝林森-弗拉希元素与 $ p $-进 $ L $-函数关联。
• 在反循环塔上使用 $ p $-进高度配对，将贝林森-弗拉希元素的导数与 $ p $-进 $ L $-函数关联。
• 使用 Coleman-Perrin-Riou 映射，将欧拉系的循环导数与 $ p $-进 $ L $-函数 $ \mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)} $ 关联。
• 应用 Nekovář 的 $ p $-进高度配对理论与 Tate 对偶性，推导出反循环设定下的鲁宾型公式。
• 建立 $ p $-进 $ L $-函数与 Selmer 群特征理想之间的整除关系，在附加假设下升级为等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ p $ 分裂的虚二次域上，对非 CM、$ p $-普通的模形式，反循环 Iwasawa 主猜想是否成立？
• RQ2 贝林森-弗拉希元素能否用于构造一个控制反循环 $ \mathbb{Z}_p $-扩张中 Selmer 群的欧拉系？
• RQ3 在反循环设定下，是否存在一个 $ p $-进高度配对公式，将贝林森-弗拉希元素的导数与 $ p $-进 $ L $-函数关联？
• RQ4 在何种条件下，$ p $-进 $ L $-函数属于 Selmer 群特征理想的包含关系可升级为等式？
• RQ5 在 $ \mathfrak{p}^c $ 处的局部条件如何影响 Selmer 群与 $ p $-进 $ L $-函数的结构？

主要发现

• 证明了 $ p $-进 $ L $-函数 $ \mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)} $ 属于理想 $ \mathfrak{Reg}_{\textup{ac}} \cdot \mathrm{char}(\mathfrak{X}(f\otimes\alpha/D_{\infty})_{\textup{tor}}) \otimes_{\Lambda_{\textup{ac}}^{\mathfrak{o}}} \mathcal{R}_{L}^{\textup{ac}} $，在调节因子意义下证明了主猜想。
• 在附加假设下——$ N $ 无平方因子，$ \rho_f $ 在整除 $ N^- $ 的素数处有分歧，且满足权-2 条件——包含关系升级为等式：$ \mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)} $ 生成了 Selmer 群的特征理想。
• 证明了贝林森-弗拉希元素的循环导数 $ \mathfrak{d}\textup{BF}_{D_{\infty}} $ 在 Coleman-Perrin-Riou 映射下映射到 $ \mathfrak{L}_{f,1}^{(\alpha)} $。
• 建立了鲁宾型公式：反循环 $ p $-进高度配对满足 $ \mathfrak{h}^{\textup{ac}}_p(\textup{BF}_{D_{\infty}}, \mathfrak{y}) = -\langle \mathfrak{d}\textup{BF}_{D_{\infty}}, \textup{res}_{\mathfrak{p}^c}(\mathfrak{y}) \rangle_{\textup{Tate}} $，将高度配对与欧拉系的导数关联。
• 通过 [KLZ15a] 的推广，在 $ K $ 上实现了贝林森-弗拉希元素欧拉系的构造，将方法扩展至更高权与非 CM 形式。
• 证明依赖于反循环贝林森-弗拉希欧拉系的非零性，该非零性通过 $ p $-进 $ L $-函数的非平凡性与显式互惠律得以确立。