[论文解读] Approximate Undirected Transshipment and Shortest Paths via Gradient Descent.

Ruben Becker, Andreas Karrenbauer+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的梯度下降算法，用于在边权为多项式有界整数的无向图中，以 $1 + \epsilon$ 近似比求解无向转运问题（等价于最小费用最大流）。通过利用稀疏支撑子图加速每轮迭代，该算法在 RAM、流式处理和分布式模型中均实现了更快的运行时间，避免了对复杂边跳集的依赖。

ABSTRACT

We present a method for solving the transshipment problem - also known as uncapacitated minimum cost flow - up to a multiplicative error of $1 + \epsilon$ in undirected graphs with polynomially bounded integer edge weights using a tailored gradient descent algorithm. An important special case of the transshipment problem is the single-source shortest paths (SSSP) problem. Our gradient descent algorithm takes $O(\epsilon^{-3} \mathrm{polylog} n)$ iterations and in each iteration it needs to solve a variant of the transshipment problem up to a multiplicative error of $\mathrm{polylog} n$. In particular, this allows us to perform a single iteration by computing a solution on a sparse spanner of logarithmic stretch. As a consequence, we improve prior work by obtaining the following results: (1) RAM model: $(1+\epsilon)$-approximate transshipment in $ ilde{O}(\epsilon^{-3}(m + n^{1 + o(1)}))$ computational steps (leveraging a recent $O(m^{1+o(1)})$-step $O(1)$-approximation due to Sherman [2016]). (2) Multipass Streaming model: $(1 + \epsilon)$-approximate transshipment and SSSP using $ ilde{O}(n) $ space and $ ilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ passes. (3) Broadcast Congested Clique model: $(1 + \epsilon)$-approximate transshipment and SSSP using $ ilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ rounds. (4) Broadcast Congest model: $(1 + \epsilon)$-approximate SSSP using $ ilde{O}(\epsilon^{-O(1)}(\sqrt{n} + D))$ rounds, where $ D $ is the (hop) diameter of the network. The previous fastest algorithms for the last three models above leverage sparse hop sets. We bypass the hop set computation; using a spanner is sufficient in our method. The above bounds assume non-negative integer edge weights that are polynomially bounded in $n$; for general non-negative weights, running times scale with the logarithm of the maximum ratio between non-zero weights.

研究动机与目标

• 设计一种更快的近似无向转运算法，适用于边权为多项式有界整数的图。
• 在多种计算模型中实现转运和单源最短路径（SSSP）的 $(1 + \epsilon)$-近似解。
• 通过使用稀疏支撑子图替代稀疏边跳集，消除在分布式和流式处理模型中对边跳集的依赖。
• 将 RAM 模型中的计算复杂度降低至 $\tilde{O}(\epsilon^{-3}(m + n^{1 + o(1)}))$ 步。
• 通过以最大边权与最小边权之比的对数进行缩放，将该方法推广至一般非负边权。

提出的方法

• 该方法采用一种量身定制的梯度下降算法，通过迭代改进流解以逼近转运问题的最优解。
• 每轮迭代均以 $\mathrm{polylog}\,n$ 的误差求解转运问题的变体，从而可通过稀疏支撑子图实现高效计算。
• 算法使用一种对数拉伸的稀疏支撑子图来模拟每一步梯度更新，从而降低每轮迭代的代价。
• 收敛速度为 $O(\epsilon^{-3} \mathrm{polylog}\,n)$ 轮，每轮依赖于基于支撑子图的近似。
• 该方法利用了一项近期成果：在 $O(m^{1+o(1)})$ 步内实现 $O(1)$-近似转运问题，以此作为梯度下降过程的启动基础。
• 对于一般非负边权，运行时间与最大边权与最小非零边权之比的对数成比例。

实验结果

研究问题

• RQ1 梯度下降能否被有效适配以求解无向转运问题，并保证收敛性和效率？
• RQ2 在分布式和流式处理模型中，稀疏支撑子图能否替代稀疏边跳集来求解转运问题和 SSSP？
• RQ3 使用该方法在 RAM 模型中实现 $(1 + \epsilon)$-近似解的计算复杂度是多少？
• RQ4 该算法在广播汇聚团（broadcast congested clique）和汇聚团（congested clique）模型中的扩展性能如何？
• RQ5 该方法能否在不显著增加运行时间的前提下处理一般非负边权？

主要发现

• 在 RAM 模型中，该算法以 $\tilde{O}(\epsilon^{-3}(m + n^{1 + o(1)}))$ 步计算出 $(1 + \epsilon)$-近似转运解。
• 在多轮流式处理模型中，它以 $\tilde{O}(n)$ 空间和 $\tilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ 轮数实现 $(1 + \epsilon)$-近似转运和 SSSP。
• 在广播汇聚团模型中，它以 $\tilde{O}(\epsilon^{-O(1)})$ 轮计算出 $(1 + \epsilon)$-近似转运和 SSSP。
• 在广播汇聚模型中，它以 $\tilde{O}(\epsilon^{-O(1)}(\sqrt{n} + D))$ 轮计算出 $(1 + \epsilon)$-近似 SSSP，其中 $D$ 为边跳直径。
• 该方法通过使用稀疏支撑子图避免了对稀疏边跳集的依赖，简化了分布式模型中的实现并降低了开销。
• 对于一般非负边权，运行时间与 $\log(\text{max weight}/\text{min weight})$ 成比例，保持了在广泛边权假设下的效率。