[论文解读] Asymptotically Optimal Circuit Depth for Quantum State Preparation and General Unitary Synthesis

Xiaoming Sun, Guojing Tian+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用 11

一句话总结

本文提出了使用 m 个辅助量子比特准备任意 n 量子比特量子态以及实现通用 n 量子比特酉操作的渐近最优量子电路。其电路深度为 $\widetilde{O}\left(\frac{2^n}{m+n} + n\right)$，电路规模为 $O(2^n)$，深度界限在广泛的辅助比特数量范围内达到最优，解决了量子算法设计中关于电路深度复杂度的长期开放问题。

ABSTRACT

The Quantum State Preparation problem aims to prepare an $n$-qubit quantum state $|ψ_v angle =\sum_{k=0}^{2^n-1}v_k|k angle$ from the initial state $|0 angle^{\otimes n}$, for a given unit vector $v=(v_0,v_1,v_2,\ldots,v_{2^n-1})^T\in \mathbb{C}^{2^n}$ with $\|v\|_2 = 1$. The problem is of fundamental importance in quantum algorithm design, Hamiltonian simulation and quantum machine learning, yet its circuit depth and size complexity remain open when ancillary qubits are available. In this paper, we study efficient constructions of quantum circuits with $m$ ancillary qubits that can prepare $|ψ_v angle$ in depth $ ilde O\left(\frac{2^n}{m+n}+n ight)$and size $O(2^n)$, achieving the optimal value for both measures simultaneously. These results also imply a depth complexity of $Θ(4^n/(m+n))$ for quantum circuits implementing a general $n$-qubit unitary using $m = O(2^n/n)$ ancillary qubits. This resolves the depth complexity for circuits without ancillary qubits, and for circuits with exponentially many ancillary qubits, this gives a quadratic saving from $O(4^n)$ to $ ilde Θ(2^n)$. Our circuits are deterministic, prepare the state and carry out the unitary precisely, utilize the ancillary qubits tightly and the depths are optimal in a wide range of parameter regime. The results can be viewed as (optimal) time-space tradeoff bounds, which is not only theoretically interesting, but also practically relevant in the current trend that the number of qubits starts to take off, by showing a way to use a large number of qubits to compensate the short qubit lifetime.

研究动机与目标

• 解决在存在辅助量子比特时，量子电路深度复杂度在量子态准备与酉矩阵合成中的开放问题。
• 通过同时优化深度与规模，建立量子电路的紧密时间-空间权衡。
• 使用单量子比特门和 CNOT 门，提供量子态与酉矩阵的确定性、精确实现。
• 将结果扩展至使用 Clifford+T 门集的近似合成，以支持容错量子计算。

提出的方法

• 使用单量子比特旋转和 CNOT 门构造量子电路，从 |0⟩⊗n 准备任意 n 量子比特态 |ψv⟩。
• 采用递归分解策略，紧密利用辅助量子比特以减少电路深度。
• 应用一种新颖的门合成技术，将受控操作分组，并通过结构化分层最小化深度。
• 通过门依赖关系和参数计数的组合与代数分析，推导出深度界限。
• 将结果扩展至使用 Clifford+T 门集的近似合成，误差由精度参数 ǫ 控制。
• 通过基于参数计数和酉群维数的下界论证，证明深度界限的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用 m 个辅助量子比特时，准备任意 n 量子比特量子态的渐近最优电路深度是多少？
• RQ2 是否可以同时最小化通用 n 量子比特酉矩阵合成的深度复杂度、规模和辅助比特使用量？
• RQ3 辅助量子比特的引入如何影响量子态准备与酉矩阵合成的深度复杂度？
• RQ4 精确与近似量子电路合成的最优时间-空间权衡是什么？
• RQ5 这些结果能否扩展到具有可控精度的容错门集（如 Clifford+T）？

主要发现

• 本文在使用 m 个辅助量子比特时，实现了量子态准备的深度为 $\widetilde{O}\left(\frac{2^n}{m+n} + n\right)$，在广泛的 m 范围内达到渐近最优。
• 对于通用 n 量子比特酉矩阵合成，深度为 $\widetilde{O}\left(n2^n + \frac{4^n}{m+n}\right)$，当 $m = O(2^n/n)$ 时与下界一致。
• 当 $m = O(2^n)$ 时，深度降低至 $O(n)$，相比之前最优上界 $O(4^n)$ 实现了二次改进。
• 电路规模在量子态准备中为 $O(2^n)$，在酉矩阵合成中为 $O(4^n)$，均为最优。
• 对于使用 Clifford+T 门集的近似合成，当 $m = O(2^n/(n\log n))$ 时，深度为 $O\left(\frac{2^n \log(2^n/\epsilon)}{m+n}\right)$，精度为 $\epsilon$。
• 结果表明，所提出的电路在广泛辅助比特数量范围内，深度达到最优（对数因子内），解决了量子电路复杂度领域长期存在的开放问题。