[论文解读] Average $2$-Torsion in Class Groups of Rings Associated to Binary $n$-ic Forms

Ashvin Swaminathan|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文计算了具有固定奇数首项系数的整系数二元 $n$-次型所定义的环与域的类群中 2-挠子群的平均大小的上界，扩展了此前关于三次型与首一型的研究。在假设一致估计成立的条件下，这些上界被证明是精确的，揭示了当 $n$ 为奇数时，固定首项系数会增加 2-挠子群；并首次给出了当 $n$ 为偶数时 $p$-挠子群（$p \mid n > 2$）的相应结果。

ABSTRACT

Let $n \geq 3$ be an integer. In this paper, we study the average behavior of the $2$-torsion in class groups of rings cut out by integral binary $n$-ic forms having any fixed odd leading coefficient. Specifically, we compute upper bounds on the average size of the $2$-torsion in class groups of rings and fields arising from such binary forms. Conditional on a uniformity estimate, we further prove that each of these upper bounds is in fact an equality. Our theorems extend recent work of Bhargava-Hanke-Shankar in the cubic case and of Siad in the monic case to binary forms of any degree with any fixed odd leading coefficient. When $n$ is odd, we find that fixing the leading coefficient increases the average $2$-torsion in the class group, relative to the prediction of Cohen-Lenstra-Martinet-Malle. When $n$ is even, such predictions are yet to be formulated; together with Siad's results in the monic case, our theorems are the first of their kind to describe the average behavior of the $p$-torsion in class groups of degree-$n$ rings where $p \mid n > 2$. To prove these theorems, we first answer a question of Ellenberg by parametrizing square roots of the class of the inverse different of a ring cut out by a binary form in terms of the integral orbits of a certain coregular representation. This parametrization has a range of interesting applications, from studying $2$-parts of class groups to studying $2$-Selmer groups of hyperelliptic Jacobians.

研究动机与目标

• 确定由具有固定奇数首项系数的整系数二元 $n$-次型所生成的环与域的类群中 2-挠子群的平均大小。
• 将此前关于三次型与首一型的研究结果推广至任意 $n \geq 3$ 及任意固定奇数首项系数的情形。
• 研究固定首项系数对平均 2-挠子群大小的影响，特别是与 Cohen-Lenstra-Martinet-Malle 猜测的对比。
• 首次系统地描述当 $p \mid n > 2$ 且 $n$ 为偶数时，$n$ 次环中 $p$-挠子群的行为。
• 回答 Ellenberg 的问题，通过整系数轨道参数化逆不同类的平方根，对应于一个共正规表示。

提出的方法

• 利用共正规表示的整系数轨道，对由二元 $n$-次型定义的环的逆不同类的平方根进行参数化。
• 利用该参数化方法分析相关环的类群中 2-挠子群的结构。
• 应用一致估计，证明所推导出的平均 2-挠子群大小的上界是紧的，即等式成立。
• 将 Bhargava-Hanke-Shankar（三次情形）与 Siad（首一情形）的技术推广至具有固定奇数首项系数的非首一情形。
• 借助参数化方法，将类群 2-挠子群与超椭圆雅可比簇的算术不变量（特别是 2-塞尔默群）联系起来。
• 证明平均 2-挠子群大小依赖于首项系数，尤其当 $n$ 为奇数时，与 Cohen-Lenstra-Martinet-Malle 的预测形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定二元 $n$-次型的首项系数，如何影响相关环的类群中 2-挠子群的平均大小？
• RQ2 对于具有固定奇数首项系数的整系数二元 $n$-次型所定义的环，其类群中 2-挠子群的平均大小的上界是什么？
• RQ3 在何种条件下，这些上界可被证明为精确值？
• RQ4 当 $n$ 为奇数与偶数时，2-挠子群的行为有何不同，尤其是在现有猜测的背景下？
• RQ5 逆不同类的平方根能否通过共正规表示的整系数轨道进行参数化？其算术后果是什么？

主要发现

• 本文建立了由具有固定奇数首项系数的整系数二元 $n$-次型所生成的环的类群中 2-挠子群平均大小的上界。
• 在一致估计假设下，这些上界被证明是精确的，从而得到精确的渐近平均值。
• 当 $n$ 为奇数时，固定首项系数会增加平均 2-挠子群大小，与 Cohen-Lenstra-Martinet-Malle 的预测相悖。
• 对于偶数 $n$，本研究首次提供了 $n$ 次环中 $p$-挠子群（$p \mid n > 2$）平均大小的已知描述。
• 通过共正规表示的整系数轨道对逆不同类平方根的参数化被确立为关键的技术工具。
• 该参数化方法不仅适用于类群研究，还可推广至超椭圆雅可比簇的 2-塞尔默群等其他算术对象的研究。