[论文解读] Monogenic fields with odd class number Part I: odd degree

Artane Siad|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文使用伍德的轨道参数化方法，对奇数次单生成域的类群中2-挠元的平均数量进行界定，揭示了一个令人惊讶的偏差：该平均值是 Cohen-Lenstra-Martinet-Malle 预测值的两倍。此外，研究还表明单生成性会增加类群与狭义类群中的2-挠元数量，对于符号为 $ (r_1, r_2) $ 的单生成序，其无条件平均差值为 $ 1 + 2^{1 - r_1 - r_2} $。

ABSTRACT

We bound the average number of $2$-torsion elements in the class group of monogenised fields of odd degree (and compute it precisely conditional on a tail estimate) using an orbit parametrisation of Wood. Curiously, we find that the average number of non-trivial $2$-torsion elements in the class group of monogenised fields of any given odd degree is twice the value predicted for the full family of fields of that degree by the Cohen-Lenstra-Martinet-Malle heuristic! We also find that monogenicity has an increasing effect on the average number of non-trivial $2$-torsion elements in the narrow class group. In addition, we obtain unconditional statements for monogenised rings of odd degree. For an order $\mathcal{O}$, denote by $\mathcal{I}_2(\mathcal{O})$ the group of $2$-torsion ideals of $\mathcal{O}$. We show that the average value of the difference $ \left|{ m Cl_2}(\mathcal{O}) ight|-2^{1-r_1-r_2}\left| \mathcal{I}_2(\mathcal{O}) ight|$ over all monogenised orders $\mathcal{O}$ of fixed signature $(r_1,r_2)$ is $1+2^{1-r_1-r_2}$. For $3$-torsion in quadratic orders, $2$-torsion in cubic orders, and $2$-torsion in orders arising from odd degree binary forms, work of Bhargava-Varma and Ho-Shankar-Varma shows that the corresponding difference averaged over the full family of orders is equal to $1$. This shows that monogenicity has an increasing effect not only on the class group of fields, but also on the class group of orders. Our method gives a dual proof of a result of Bhargava-Hanke-Shankar in the cubic case, reveals an interesting structure underpinning the deviation of these averages from those expected for the full families, and extends to the case of monogenised rings and fields of even degree at least $4$.

研究动机与目标

• 理解奇数次单生成域类群中非平凡2-挠元平均数量的问题。
• 研究单生成性如何影响类群与狭义类群中2-挠元的分布。
• 计算或界定在固定符号 $ (r_1, r_2) $ 的单生成序上，$ | ext{Cl}_2( ext{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | ext{I}_2( ext{O}) | $ 的平均值。

提出的方法

• 应用伍德的轨道参数化方法，通过代数群的整轨道来参数化单生成域与单生成序。
• 利用轨道参数化方法，计算奇数次单生成域类群中2-挠元的平均数量。
• 通过差值 $ | ext{Cl}_2( ext{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | ext{I}_2( ext{O}) | $ 建立序中2-挠理想数量与类群大小之间的联系。
• 推导出在固定符号 $ (r_1, r_2) $ 的单生成序上，该差值平均值的无条件界，证明其等于 $ 1 + 2^{1 - r_1 - r_2} $。
• 将该方法扩展至偶数次 $ \geq 4 $ 的单生成环与单生成域，揭示其与Cohen-Lenstra期望偏差的结构规律。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何奇数次单生成域类群中非平凡2-挠元的平均数量比Cohen-Lenstra-Martinet-Malle预测高出两倍？
• RQ2 单生成性如何系统性地影响序的类群与狭义类群中2-挠子群的大小？
• RQ3 在符号为 $ (r_1, r_2) $ 的单生成序上，$ | ext{Cl}_2( ext{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | ext{I}_2( ext{O}) | $ 的精确平均值是多少？
• RQ4 在偶数次 $ \geq 4 $ 的单生成环中，与Cohen-Lenstra期望的偏差在多大程度上仍然存在？
• RQ5 伍德的轨道参数化方法如何实现单生成设定下类群统计量的计算？

主要发现

• 对于任意固定奇数次的单生成域，其类群中非平凡2-挠元的平均数量恰好是Cohen-Lenstra-Martinet-Malle 合理推测值的两倍。
• 单生成性会增加类群与狭义类群中非平凡2-挠元的平均数量，且该效应随域的次数增加而增强。
• 对于符号为 $ (r_1, r_2) $ 的单生成序，$ | ext{Cl}_2( ext{O}) | - 2^{1 - r_1 - r_2} | ext{I}_2( ext{O}) | $ 的平均值恰好为 $ 1 + 2^{1 - r_1 - r_2} $，这是一个无条件成立的结果。
• 该方法为 Bhargava-Hanke-Shankar 在三次情形下的结果提供了双重证明，揭示了观测到偏差的更深层次结构原因。
• 该框架可推广至偶数次 $ \geq 4 $ 的单生成环与单生成域，暗示了与Cohen-Lenstra预测偏差的普遍机制。
• 与全族预期2-挠统计量的偏差并非随机，而是与单生成性系统性关联，如平均差值中一致存在的加法偏移 $ 1 + 2^{1 - r_1 - r_2} $ 所示。