[论文解读] Bounds on Kolmogorov widths and sampling recovery for classes with small mixed smoothness

Vladimir Temlyakov, Tino Ullrich|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 22被引用 5

一句话总结

该论文通过在 dyadic 频率块上应用基本截断算子，为 $L_∞$ 范数下具有小混合光滑度的函数类的 Kolmogorov 宽度建立了新的上界。这些上界意味着在 $L_2$-最优恢复和 Marcinkiewicz 型离散化方面，采样恢复和数值积分误差估计得到改进。

ABSTRACT

Results on asymptotic characteristics of classes of functions with mixed smoothness are obtained in the paper. Our main interest is in estimating the Kolmogorov widths of classes with small mixed smoothness. We prove the corresponding bounds for the unit balls of the trigonometric polynomials with frequencies from a hyperbolic cross. We demonstrate how our results on the Kolmogorov widths imply new upper bounds for the optimal sampling recovery in the $L_2$ norm of functions with small mixed smoothness.

研究动机与目标

• 推导三角多项式子空间在双曲截面中频率的 Kolmogorov 宽度的精确上界。
• 在 $L_2$ 范数下，建立 Kolmogorov 宽度与最优采样恢复之间的联系。
• 为具有小混合光滑度的类提供新的数值积分误差估计。
• 为双曲截面多项式类的已知熵数界提供一种更基本的替代证明。
• 解决小混合光滑度的挑战，这需要超越经典大光滑度结果的新技术。

提出的方法

• 对 $\mathcal{T}(Q_n)$ 中函数的频率块应用 dyadic 截断算子，其中 $\mathcal{T}(Q_n)$ 是频率位于双曲截面 $Q_n$ 中的三角多项式空间。
• 利用 Nikol'skii 型不等式，通过双曲截面的结构，将 $L_\infty$ 范数控制在 $L_p$ 范数之内。
• 应用 Carl 不等式，将 Kolmogorov 宽度与熵数联系起来，从而实现边界的传递。
• 通过将混合光滑度类 $\mathbf{W}^r_p$ 与双曲截面多项式子空间关联，推导出其边界。
• 利用已知的采样离散化和 Marcinkiewicz 定理结果，将熵数与宽度边界与实际的恢复和积分方案联系起来。
• 提供一种自包含的、基本的证明，用于已知的熵数边界，与以往使用的深奥泛函分析方法形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L_\infty$ 范数下，双曲截面中频率的三角多项式子空间的 Kolmogorov 宽度的最优上界是什么？
• RQ2 这些宽度边界如何转化为 $L_2$ 范数下最优采样恢复的误差估计？
• RQ3 相同的边界是否可用于推导具有小混合光滑度类的数值积分误差的改进估计？
• RQ4 与现有深奥泛函分析方法相比，是否存在一种更简单、更基本的证明方法，用于已知的双曲截面多项式熵数边界？
• RQ5 对于小混合光滑度，宽度和恢复误差在光滑度 $r$、维度 $d$ 和样本大小 $m$ 上的精确依赖关系是什么？

主要发现

• 对于 $2 \leq p < \infty$，Kolmogorov 宽度满足 $d_m(\mathcal{T}(Q_n)_p, L_\infty) \leq C(p,d)(2^n/m)^{1/p} n^{(d-1)(1-1/p)+1/p}$，为双曲截面子空间提供了精确边界。
• 对于混合光滑度类 $\mathbf{W}^r_p$，其中 $1/p < r < 1/2$ 且 $2 < p \leq \infty$，宽度满足 $d_m(\mathbf{W}^r_p, L_\infty) \leq C(p,d,r) m^{-r} (\log m)^{(d-2)(1-r)+1}$。
• 在端点情形 $r = 1/2$ 时，边界变为 $d_m(\mathbf{W}^{1/2}_p, L_\infty) \leq C(p,d) m^{-1/2} (\log m)^{d/2} (\log \log m)^{3/2}$。
• 这些宽度边界意味着在 $L_2$ 范数下，最优采样恢复的误差率达到了已知最佳结果。
• 结果导致了数值积分误差估计的改进：$\kappa_m(\mathbf{W}^r_p) \asymp m^{-r} (\log m)^{(d-1)/2}$，当 $1/p < r < 1/2$ 时，与已知下界一致。
• 为熵数边界 $\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_p, L_\infty) \ll (|Q_n|/k)^{1/p} n^{(d-1)(1-2/p)+1/p}$ 提供了一种替代的、基本的证明，该边界此前通过深奥泛函分析推导得出。