[论文解读] On optimal recovery in $L_2$

Vladimir Temlyakov|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文建立了一个基本不等式，表明在 $L_2$ 范数下的最优恢复误差受一致范数下柯尔莫哥洛夫宽度的上界控制，利用了有限维子空间在 $L_2$ 中的最新离散化结果。关键贡献在于提出了一个将恢复误差与一致范数宽度相联系的一般性界，从而通过加权最小二乘算法为混合光滑性函数类提供了强有力的误差估计。

ABSTRACT

We prove that the optimal error of recovery in the $L_2$ norm of functions from a class $\bF$ can be bounded above by the value of the Kolmogorov width of $\bF$ in the uniform norm. We demonstrate on a number of examples of $\bF$ from classes of functions with mixed smoothness that the obtained inequality provides a powerful tool for estimating errors of optimal recovery.

研究动机与目标

• 建立使用一致范数中柯尔莫哥洛夫宽度对 $L_2$ 中最优恢复误差的一般上界。
• 展示加权最小二乘算法在 $L_2$ 最优恢复中的有效性。
• 将主要不等式应用于具有混合光滑性的函数类，提供具体的误差估计。
• 将恢复误差界与有限维子空间在 $L_2$ 中的深层离散化结果相联系。

提出的方法

• 通过加权采样对有限维子空间上的 $L_2$ 范数进行离散化，依赖于 [16]、[7] 和 [12] 的最新结果。
• 应用加权最小二乘算法 $\ell p\mathbf{w}(\xi)$，该算法最小化采样误差的加权 $\ell_p$-范数。
• 将切比雪夫投影 $P_{X_N,p}(f)$ 用作 $L_p$-范数下的最佳逼近算子。
• 通过涉及绝对常数的关键不等式，建立恢复误差 $\varrho_{m}(\mathbf{F},L_2)$ 与柯尔莫哥洛夫宽度 $d_n(\mathbf{F},L_\infty)$ 之间的联系。
• 依赖于正交系的条件 E(t)，以确保使用均匀权重的均匀采样离散化。
• 利用定理 4.2（使用均匀权重的离散化）推导出主结果在经典最小二乘算法下的变体。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用一致范数中的柯尔莫哥洛夫宽度来控制 $L_2$ 中的最优恢复误差？
• RQ2 加权最小二乘算法在 $L_2$ 恢复的误差界方面表现如何？
• RQ3 离散化结果在连接 $L_2$ 恢复与一致范数宽度方面起什么作用？
• RQ4 该主不等式能否推广到 $L_p$ 范数（$p \neq 2$）？
• RQ5 该结果对具有混合光滑性的函数类有何影响？

主要发现

• 在 $L_2$ 中的最优恢复误差满足 $\varrho_{bn}(\mathbf{F},L_2) \leq B d_n(\mathbf{F},L_\infty)$，其中 $b, B > 0$ 为绝对常数，将 $L_2$ 恢复与一致范数宽度联系起来。
• 该结果为估计具有混合光滑性的函数类中的恢复误差提供了一个强大工具。
• 对于使用均匀权重的经典最小二乘法，若满足条件 E(t)，则有界 $\varrho_{bn}^{ls}(\mathbf{F},L_2) \leq B d_n^{E(t)}(\mathbf{F},L_\infty)$。
• 定理 4.1 中的离散化结果允许将结果推广至 $L_p$（$1 \leq p \leq 2$），但目前尚无 $p > 2$ 的类似结果。
• 该不等式是精确的，因为它捕捉到了索博列夫型类在 $L_\infty$ 中已知恢复速率的正确数量级。
• 该方法具有鲁棒性，适用于 $\mathcal{C}(\Omega)$ 中任意紧致且关于原点对称的函数类。